Tìm kiếm
Nam
Đề chính thức vòng 1
Bài 1:(5 điểm)
Giả sử $x_{1},x_{2},x_{3}...x_{2015}$ là 2015 số thực thuộc đoạn $[-1,1]$ mà $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}^{3}=0$
1) Chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}< 672$
2) Tìm giá trị lớn nhất của $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}$
Bài 2:(5 điểm)
Giả sử $a_{1},a_{2},a_{3}...a_{2016}$ là 1 dãy số nguyên thỏa mãn điều kiện: $a_{m}+a_{n}\leq a_{m+n}\leq a_{m}+a_{n}+1$ với mọi cặp số nguyên dương m,n mà $m+n\leq 2016$.
Chứng minh rằng tồn tại số thực x sao cho $a_{n}=[nx]$ với mỗi $n\in \left \{ 1,2,..,2016 \right \}$
Bài 3:(5 điểm)
Cho tam giác nhọn, không cân $\Delta ABC$ nội tiếp đtròn (O). Đường phân giác góc A của tam giác cắt cạnh BC tại D và cắt lại đtròn (O) tại E.Gọi K là điểm nằm trong mặt phẳng chứa $\Delta ABC$, thỏa mãn các điều kiện KB=KC và $\widehat{BKC}+\widehat{BAC}=180^{\circ}$. Giả sử K nằm trong $\Delta ABC$
1) Chứng minh rằng bốn điểm A,O,K,D cùng thuộc 1 đường tròn, kí hiệu là (P).
2) Gọi L là giao điểm thứ 2 của (P) và (O). Chứng minh $\widehat{LAB}=\widehat{KAC}$
3) Gọi G là giao điểm của AL và BC; I là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$; M là trung điểm của đoạn GI, N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng EM và đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng NI, AK cắt nhau tại 1 điểm thuộc (O).
Bài 4:(5 điểm)
Có một số bi màu xanh, một số bi màu đỏ, một số bi màu trắng được đặt sẵn trong một cái hộp. Một người chơi được cung cấp đủ lượng bi thuộc cả 3 loại màu xanh, đỏ , trắng và tại mỗi lượt người chơi sẽ lấy từ hộp ra 2 viên bi rồi thực hiện tiếp trò chơi theo luật như sau:
-nếu 2 viên bi được lấy ra có màu khác nhau thì người chơi phải bỏ vào hộp 1 viên bi khác màu với 2 viên đó(cụ thể: nếu đã lấy ra 1 bi xanh, 1 bi đỏ thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi trắng, nếu đã lấy ra 1 bi đỏ, 1 bi trắng thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi xanh, nếu đã lấy ra 1 bi trắng, 1 bi xanh thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi đỏ)
-nếu 2 viên bi được lấy ra cùng màu với nhau thì người chơi ko phải bỏ lại vào hộp viên bi nào cả.
Và cứ như thế cuộc chơi chỉ dừng lại khi trong hộp hết bi hoặc chỉ còn 1 viên bi.
Chứng minh rằng kết quả cuối cùng của cuộc chơi ko phụ thuộc vào cách lấy bi của người chơi( cho dù người chơi được phép nhìn vào hộp).
