Khoảng $[Sn,Sn+1)$ có ít nhất 1 số chính phương khi và chỉ khi khoảng $[\sqrt{S_{n}},\sqrt{S_{n+1}})$ có ít nhất 1 số nguyên dương,tức là $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_{n}}\geq 1$
Ta có: $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_{n}}\geq 1$
$\Leftrightarrow S_{n+1} \geq (\sqrt{S_{n}}+1)^{2}$
$\Leftrightarrow S_{n}+k_{n+1} \geq (\sqrt{S_{n}}+1)^{2}$
$\Leftrightarrow k_{n+1}\geq 2\sqrt{S_{n}}+1$
Theo đề bài: $k_{n+1}\geq k_{n}+2$ với mọi n thuộc N*
$\Rightarrow S_{n}\leq nk_{n+1}-n(n+1)$
Ta sẽ chứng minh $k_{n+1}\geq 2\sqrt{nk_{n+1}-n(n+1)}+1$
$\Leftrightarrow (k_{n+1})^{2}-2k{n+1}+1\geq 4nk_{n+1}-4n(n+1)$
$\Leftrightarrow (k{n+1}-2n-1)^{2}\geq 0$ đúng
Vậy ta có đpcm
- Bui Ba Anh và kimchitwinkle thích