NhatTruong2405

Chứng minh rằng $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3}{2}(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})$

Mình chưa hiểu chỗ này

 $\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$ mà đề bài là chứng minh $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}} \geq 0$ nên chuyển vế đó bạn

Do $\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$ Nên BĐT cần chứng minh trở thành: $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=\frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{({a^{5}}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$ Nên$\sum \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{{a^{5}}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum \frac{1}{a}+\sum 2(a^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}})$ Do $abc\geq 1$ nên ta có $\sum \frac{1}{a}\leq abc(\sum \frac{1}{a})=\sum ab\leq \sum a^{2}$

Ta có đpcm

Như cách của bạn Long được rồi, còn cách tớ (suy nghĩ theo hướng chủ quan) là như thế này

Sau khi chuẩn hóa thì BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Với $a,b,c\leq \frac{21}{8}$ thì $\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \sum \frac{12a-7}{25}<=>\sum (a-1)^2(8a-21)\leq 0$

Từ đó dẫn đến ĐPCM

Nếu trong 3 số a,b,c có một số $\geq \frac{21}{8}$, giả sử đó là số a, vì $a+b+c=3$ nên $b,c\leq 3-\frac{21}{8}=\frac{3}{8}$

Và có $a\leq 3$ nên $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}>\frac{21^2}{8^2}:(3^2+4.\frac{3^2}{8^2})=\frac{49}{68}>\frac{3}{5}$

Không liên quan

Hiện tại không có hứng post bài

Cảm ơn bạn mình hiểu rồi

Hệ số $k= \frac{12}{25} $ mà bạn

Và khi đó xét 2 trường hợp nữa là ra

Nếu $k=\frac{12}{25}$ thì bđt $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ đâu chứng minh được đâu bạn nãy giờ mình cứ khúc mắt chỗ đó

Ta cần tìm hệ số k sao cho $\frac{a^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{1}{5}+k(a-1)$ Ta có $-\frac{5}{2a^{2}-6a+9}+1=\frac{-3(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}$ Khi a=1 thì $\frac{a+3}{2a^{2}-6a+9}=\frac{4}{5}$ Vậy ta cần chứng minh $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ BĐt này $\frac{(a-1)(a+3)}{2a^{2}-6a+9}\leq \frac{4}{5}(a-1)$ mình chứng minh không được

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ sau đó đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:

$\sum \frac{a^2}{a^2+(3-a)^2}\geq \frac{3}{5}<=>\sum \frac{a^2}{2a^2-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Đến đây mình nghĩ sử dụng tiếp tuyến là ra rồi chứ nhỉ

Sao mình vẫn không ra nhỉ Mình chưa học tiếp tuyến nhưng mà mình chuẩn hóa $a+b+c=3$ rồi làm theo kiểu tìm hệ số k thì không chứng minh được  

Câu này bạn dùng phương pháp chuẩn hóa với tiếp tuyến là được

Bạn có thể chuẩn hóa cho mình coi được không Sao mình làm không ra Xin cảm ơn trước

Hình như là định lý Sylvester phải không ạ http://diendantoanho...h-lý-sylvester/

$\boxed{\text{Bài toán 8}}$
Tìm các nghiệm thực của phương trình $\left\{\begin{array}{l}a+b=8 \\ab+c+d=23 \\ ad+bc=28 \\ cd=12 \end{array}\right.$
Phương trình (2) trừ phương trình (3) cộng phương trình (4) ta được
$ab+c+d-ad-bc+cd=7$
$\Rightarrow (a-c)(b-d)+c-a+d-b=-1$
$\Rightarrow (a-c-1)(b-d-1)=0$
$\Rightarrow c+d=6$
Mà $cd=12$ nên không có nghiệm c,d $\Rightarrow$ không có a,b
Mà sao em nhẩm được nghiệm (4,4,3,4) vậy ạ

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,n)$ thoả mãn phương trình sau
$x^{3}+3367=2^{n}$

Cho $a,b,c$ là các số thực thoả $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Chứng minh $a^{4}+b^{4}+c^{4}+6\geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

Một palindrome là một dãy hữu hạn các kí tự đọc xuôi và đọc ngược như nhau.(Ví dụ:ABEUEBA)
Trong một số palindrome nhị phân chữ số đứng đầu là 1 và những số tiếp theo có thể là 0 hoặc 1.Hãy đếm tất cả các số palindrome nhị phân có độ dài bằng n

Giải phương trình
$(\frac{1+a^{2}}{2a})^{x}-(\frac{1-a^{2}}{2a})^{x}=1$ với $0<a<1$

Cho 3 số dương $a,b,c$ có tích bằng 1
Chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(a+b+c-1)$