81NMT23

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$7(ab+bc+ca)\leqslant 2+9abc \Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)\leqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9abc$

Có: $ab+bc+ca \leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Theo BĐT Schur ta có:$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

$\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)+ 9abc \geqslant 2(ab+bc+ca)(a+b+c)$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)$

suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 2: 

Ta sẽ chứng minh:$ab+bc+ca-3abc\leqslant \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca)-12abc\leqslant 1=(a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow  2(ab+bc+ca) \leqslant a^2+b^2+c^2+12abc$

Theo BĐT Schur ta có :

$a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+9abc\geqslant (a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geqslant 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+12abc\geqslant a^2+b^2+c^2+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)$ 

Suy ra Max $B=\frac{1}{4}$ khi $a=0; b=c=\frac{1}{2}$

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$.

Tìm Min P$=(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a})$

Sử dụng BĐT Holder và BĐT Cauchy 3 số ta có: 

$(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(3+\frac{1} {c}+\frac{1}{a})\geqslant (\sqrt[3]{3.3.3}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{bca}})^{3}=(3+\frac{2}{\sqrt[3]{abc}})^{3}\geqslant (3+\frac{2}{\frac{a+b+c}{3}})^{3}\geqslant 343 $(do $a+b+c \leqslant \frac{3}{2}$)

Vậy min $P =343$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

Xin lỗi bạn, mình nhầm, đây là lời giải đúng :

Có: $\frac{\sqrt{x-1}}{x}=\frac{\sqrt{(x-1).1}}{x}\leqslant \frac{x-1+1}{2x}=\frac{1}{2}$

Tương tự suy ra $\frac{\sqrt{y-1}}{y}\leqslant \frac{1}{2}$

Lại có: $\frac{\sqrt{z-1}}{z}=\frac{\sqrt{(z-1).2}}{z.\sqrt{2}}\leqslant \frac{z-1+2}{2\sqrt{2}.z}=\frac{z+1}{2\sqrt{2}.z}\leqslant \frac{z+\frac{1}{3}z}{2\sqrt{2}.z}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Từ đó suy ra : $\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{z-1}}{z}\leqslant \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{3+\sqrt{2}}{3}$

Vậy Max $A=\frac{3+\sqrt{2}}{3}$ khi x=y=2; z=3

1.Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.CMR:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geq 1$

2. Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $bc=1+a(b+c)$.Tìm GTLN của:

$P=\frac{6a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{4}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{3}{\sqrt{1+c^2}}$

1. Giải:

Ta có:$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}$

Lại có bổ đề sau theo bđt Cauchy:$\sqrt{1+x^{3}}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^2)}\leqslant1+\frac{x^{2}}{2}$

Áp dụng ta được:$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geqslant \frac{1}{1+\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}}}\geqslant =\frac{1}{\frac{2a^{2}+2(b^{2}+c^{2})}{2a^{2}}}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Tương tự ta sẽ được: $\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geqslant \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=1$(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cho x,y,z $\geq 1 . Tìm max : \frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{1+xyz}$

Ta thấy max của biểu thức trên là 4 khi x=y=z=1 nên ta sẽ chứng minh:

$\frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{1+xyz}\leqslant 4 \Leftrightarrow 3+3xyz\geqslant x+y+z+xy+yz+zx$

Sử dụng điều kiện ta có: $(x-1)(yz-1)\geqslant 0; (y-1)(zx-1)\geqslant 0; (z-1)(xy-1)\geqslant 0$

$\Leftrightarrow(x-1)(yz-1)+(y-1)(zx-1)+(z-1)(xy-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3+3xyz\geqslant x+y+z+xy+yz+zx$(đpcm)

Vậy ta có max của biểu thức là 4 khi x=y=z=1

Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng: $ \frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq0 $

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$ \frac{2a^{2}-2bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2b^{2}-2ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{2c^{2}-2ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geqslant0$

$\Leftrightarrow 1-\frac{2a^{2}-2bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+1-\frac{2b^{2}-2ca}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+1-\frac{2c^{2}-2ab}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leqslant 3$

$\Leftrightarrow \frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(b+a)^{2}}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}}\leqslant 3$

Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

$\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}\leqslant \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}$

Tương tự cũng  có: $\frac{(b+c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(b+a)^{2}}{2c^{2}+b^{2}+a^{2}}+\frac{(a+c)^{2}}{2b^{2}+a^{2}+c^{2}} \leqslant \frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}} = 3$ 

Suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$Q=a^{2}(b-c)+b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)$

 

{có bạn nào có tài liệu về dạng bất đẳng thức này không cho mình xin với

Giải nào:

Dễ thấy: $a^2(b-c)\leqslant 0\Rightarrow Q \leqslant b^{2}(c-b)+c^{2}(1-c)$

Áp dụng bđt Cauchy 3 số:$b^2(c-b)=4.\frac{b}{2}.\frac{b}{2}(c-b)\leqslant4.\frac{(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+c-b)^3}{27}=\frac{4c^3}{27}$

$\Rightarrow P\leqslant\frac{4c^3}{27}+c^{2}(1-c)=c^2.(1-\frac{23c}{27})=\frac{23c}{54}.\frac{23c}{54}(1-\frac{23c}{27}).\frac{2916}{529}\leqslant \frac{(\frac{23c}{54}+\frac{23c}{54}+1-\frac{23c}{27})}{27}.\frac{2916}{529}=\frac{108}{529}$ Suy ra min P=....

Dấu bằng khi $a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}$

Một cách đơn giản hơn cho câu BĐT: 

Theo điều kiện nên ta có: $a(1-a)\geqslant 0\Leftrightarrow a\geqslant a^2\Leftrightarrow 5a+4\geqslant a^2+4a+4\Leftrightarrow \sqrt{5a+4}\geqslant a+2$

Tương tự sẽ có: $\sum \sqrt{5a+4}\geqslant a+2+b+2+c+2=7$(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi a=1;b=c=0 và các hoán vị

Cho a,b nguyên dương thỏa mãn điều kiện sau:

$\sqrt{ab}(a-b) = a+b$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $a+b$

Có: $\sqrt{ab}(a-b)=(a+b) \Leftrightarrow ab(a-b)^2 =(a+b)^2 \Leftrightarrow 4.(4ab).(a-b)^2=16(a+b)^2\Rightarrow 16(a+b)^2 \leqslant [4ab+ (a-b)^2]^2\Leftrightarrow (a+b)\geqslant 4$

Vậy min a+b=4 khi  $a= 2+ \sqrt2; b= 2- \sqrt2$

Cho các số a,b,c thỏa mãn: $ c \leq b \leq a $ và ab+bc+ca=3. Tìm GTNN của biểu thức:

$ A=a^{2}(a+2b)(a+2c)+c^{2}(c+2a)(c+2b)+b^{2}(a+b+c)^{2} $

Có A=$a^4+b^4+c^4+2ab(a^2+b^2)+2bc(b^2+c^2)+2ca(a^2+c^2)+2abc(2a+2c+b)+(ab)^2+(bc)^2$

$=(a^4+b^4+c^4)+[2ab(a^2+b^2)+2bc(b^2+c^2)+2ca(a^2+c^2)]+2abc(2a+2c+b)+[(ab)^2+(bc)^2] \geqslant (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+[ 2ab.2ab+2bc.2bc+2ca.2ca]+2abc(2a+2c+b)+2ab.bc= 5[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]+4abc(a+b+c)\geqslant 3(ab+bc+ca)^2 =27$

Vậy Min A =27 khi a=b=c=1

Cho a,c,b là 3 số thực dương thỏa mãn ab + bc +ac +abc = 4 . Chứng minh :

$\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \leq 3$

Đặt $\sqrt{ab}=x; \sqrt{bc}=y; \sqrt{ca}=z$ $\Rightarrow x^2+y^2+z^2+xyz=4$. Ta sẽ cần chứng minh: 

$x+y+z \leqslant 3\Leftrightarrow  x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) \leqslant 9=2(x^2+y^2+z^2)+2xyz+1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1 \geqslant 2(xy+yz+xz)$

Ta có bất đẳng thức Schur:$x^3+y^3+z^3+3xyz \geqslant xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 + \frac{9xyz}{x+y+z} \geqslant 2(xy+yz+zx)$

Ta sẽ chứng minh: $2xyz+1 \geqslant \frac{9xyz}{x+y+z}\Leftrightarrow 2xyz(x+y+z)+x+y+z \geqslant 9xyz$

Mà:$xyz(x+y+z)+xyz(x+y+z)+(x+y+z) \geqslant 3\sqrt[3]{(x+y+z)^3.(xyz)^2}\geqslant 3\sqrt[3]{27xyz.(xyz)^2}=9xyz$

Suy ra điều cần chứng minh đúng, suy ra đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Cho $2(b^2+bc+c^2)=3(3-a^2)$ Tìm GTNN của $P=a+b+c$

Từ điều kiện biến đổi ta được: $(a+b+c)^2+(a-c)^2+(a-b)^2=9$

$(a+b+c)^2+(a-c)^2+(a-b)^2=9\Rightarrow (a+b+c)^2 \leqslant 9 \Rightarrow a+b+c \geqslant -3$

Vậy Min P = -3 khi a=b=c=-1

Cho a,b,c > 0. CMR:    

 

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}$

Bình phương cả 2 về suy ra ta cần chứng minh:

$\frac{a^{4}}{b^{2}}+\frac{b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}+2(\frac{ba^{2}}{c}+\frac{cb^{2}}{a}+\frac{ac^{2}}{b})\geqslant 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Có: $\frac{ba^{2}}{c}+\frac{cb^{2}}{a}+\frac{ac^{2}}{b}=\frac{(ba)^{2}}{cb}+\frac{(cb)^{2}}{ac}+\frac{(ac)^{2}}{ba}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca$

Mà: $\frac{a^{4}}{b^{2}}+\frac{a^{2}b}{c}+bc\geqslant 3a^{2}$ Tương tự suy ra:

$\frac{a^{4}}{b^{2}}+\frac{b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}+2(\frac{ba^{2}}{c}+\frac{cb^{2}}{a}+\frac{ac^{2}}{b})\geqslant\frac{a^{4}}{b^{2}}+\frac{b^{4}}{c^{2}}+\frac{c^{4}}{a^{2}}+\frac{ba^{2}}{c}+\frac{cb^{2}}{a}+\frac{ac^{2}}{b}+ab+bc+ca \geqslant 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ Suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cho $0\leq a,b,c\leq 3$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh:

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

Có:$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}=\frac{1}{2}(\frac{a}{2-a}+1+\frac{b}{2-b}+1+\frac{c}{2-c}+1)=\frac{1}{2}(\frac{a^{2}}{2a-a^{2}}+\frac{b^{2}}{2b-b^{2}}+\frac{c^{2}}{2c-c^{2}})+\frac{3}{2}\geqslant \frac{1}{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)-a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\frac{3}{2}$

Ta sẽ chứng minh:$\frac{1}{2}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)-a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\frac{3}{2}\geqslant 3\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}+9 \geqslant 6(a+b+c)\Leftrightarrow (a+b+c-3)^{2}\geqslant 0$( luôn đúng) suy ra đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1