chungtoiladantoan99

Họ tên: Lê Huy Hoàng

Năm sinh: 1999

Lớp: 11

Tên trong diễn đàn: chungtoiladantoan99

Địa chỉ email: [email protected]

Dự thi cấp: THPT

Theo đề bài ta có:
a,b>o.
Áp dụng BĐT Cô si:
$a^2+b^2\geq 2ab$
Dấu = xảy ra khi a=b=$\sqrt{2}$
$\Rightarrow 4\geq 2ab \Rightarrow ab\leq 2$
$\Rightarrow \sqrt{ab}\leq \sqrt{2}$
Ta có:
$P=\frac{ab}{a+b+2}$
$\Rightarrow P\leqslant \frac{ab}{2\sqrt{ab}+2}$$\Leftrightarrow P\leqslant \frac{2}{2\sqrt{2}+2}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$
Vậy $Max_{P}=\sqrt{2}-1$ khi a=b=$\sqrt{2}$

b1: biến đổi P=$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{2-2xy}{2+2xy}$. Đặt $t=xy\geq 0$ và $t\leq \frac{1}{4}$. vậy hàm số $f(t)=\frac{2-t}{2+t}$ được xác định với $t\in [0;\frac{1}{4}]$. Ta có: đạo hàm $f'(t)=\frac{-6}{(2+t)^2}< 0\Rightarrow f(t)$ nghịch biến trên [0;1/4]

Do đó, $Min f=f(1/4)=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=1/2$

            $Max f=f(0)=1\Leftrightarrow (x;y)=(0;1);(1;0)$

tại sao bạn không sử dụng cô-si luôn  ?

         

                         min =2 khi (x²   + 2015)² =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

giải ra thì ra x^2 âm

Cho $x,y,z$ > $0$ thỏa $x+y+z=xyz$.

Chứng minh: $\sum\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

theo BĐT Cauchy-Swcharz, ta có:

 $4(1+x^2)=(1+3)(1+x^2)\geq (1+x\sqrt{3})^2\Rightarrow 1+x^2\geq \frac{(1+x\sqrt{3})^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{1+x^2}\geq \frac{1+x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \frac{2x}{1+x\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq 2\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}$ Do đó ta cần chứng minh: $\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Do VT của BĐT là thuần nhất nên chuẩn hóa $x+y+z=3\sqrt{3}$

Nhận xét: $\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{x}{1+x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}$ BĐT cần chứng minh có thể  viết lại thành:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{\sqrt{3}}{4}$ . BĐT này đúng bởi theo BĐT cauchy-Swcharz ta có:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{9}{\sqrt{3}[\sqrt{3}(x+y+z)+3]}=\frac{9}{\sqrt{3}(3\sqrt{3}.\sqrt{3}+3)}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & \\ x+y+z=3\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$ cùng với đk xảy ra dấu bằng của BĐT Cauchy-Swcharz, ta được

$x=y=z=\sqrt{3}$. Suy ra đpcm.