chungtoiladantoan99

Họ tên: Lê Huy Hoàng

Năm sinh: 1999

Lớp: 11

Tên trong diễn đàn: chungtoiladantoan99

Địa chỉ email: [email protected]

Dự thi cấp: THPT

$5(sinx+\frac{cosx+sin3x}{1+2sin2x})=cos2x+3$

Cho $x,y,z$ > $0$ thỏa $x+y+z=xyz$.

Chứng minh: $\sum\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

theo BĐT Cauchy-Swcharz, ta có:

 $4(1+x^2)=(1+3)(1+x^2)\geq (1+x\sqrt{3})^2\Rightarrow 1+x^2\geq \frac{(1+x\sqrt{3})^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{1+x^2}\geq \frac{1+x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \frac{2x}{1+x\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq 2\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}$ Do đó ta cần chứng minh: $\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Do VT của BĐT là thuần nhất nên chuẩn hóa $x+y+z=3\sqrt{3}$

Nhận xét: $\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{x}{1+x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}$ BĐT cần chứng minh có thể  viết lại thành:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{\sqrt{3}}{4}$ . BĐT này đúng bởi theo BĐT cauchy-Swcharz ta có:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{9}{\sqrt{3}[\sqrt{3}(x+y+z)+3]}=\frac{9}{\sqrt{3}(3\sqrt{3}.\sqrt{3}+3)}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & \\ x+y+z=3\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$ cùng với đk xảy ra dấu bằng của BĐT Cauchy-Swcharz, ta được

$x=y=z=\sqrt{3}$. Suy ra đpcm.

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTNN: $A=\sum (a-1)^{3}$

Áp dụng BĐT Holder ta có: 

$9\sum (a-1)^3=(1+1+1)(1+1+1)[(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3]\geq (a+b+c-3)^3=0$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

áp dụng bđt AM-Gm 3 số: $1=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{xyz}}\Rightarrow xyz\geq 27abc$

$S=x^n+y^n+z^n\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^n}\geq 3\sqrt[3]{(27abc)^n}$

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=x=y=z$

ta có theo BĐT Cauchy-Swcharz: $(a+b+c)^2=(\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}\sqrt{z})^2\leq (\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})(x+y+z)\Rightarrow \frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

ta có: $4a^2+3ab-11b^2=5(a^2-2b^2)+5ab-(a+b)^2\vdots 5\Rightarrow (a+b)^2\vdots 5\Rightarrow (a+b)\vdots 5\Rightarrow (a^4-b^4)\vdots (a-b)\vdots 5$

suy ra đpcm

Dễ thấy: $sinCsin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=\frac{1}{2}(cos2B-cos2A)$

Giả thiết được viết lại thành: $\frac{cos2B-cos2A}{2}-sinA-cosB+\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow cos2B-cos2A-2sinA-2cosB+3=0$

$\Leftrightarrow (cos2B+1)-(cos2A-1)-2sinA-2cosB+1=0\Leftrightarrow 2cos^2B+2sin^2A-2sinA-2cosB+1=0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}[(2cosB-1)^2+(2sinA-1)^2]=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2cosB-1=0 & \\ 2sinA-1=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} cosB=\frac{1}{2} & \\ sinA=\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B=\frac{\pi }{3} & \\ A=\frac{\pi }{6} & \end{matrix}\right.$ Suy ra $C=\frac{\pi }{2}$

Ta có: $sin(\frac{7\pi }{4}-3x)=sin[2\pi -(\frac{\pi }{4}+3x)]=-sin(\frac{\pi }{4}+3x)$

Do đó phương trình viết lại thành: $sinx+cos2x-sin(\frac{\pi }{4}+3x)=cos\frac{\pi }{4}\Leftrightarrow sinx-sin(\frac{\pi }{4}+3x)=cos\frac{\pi }{4}-cos2x$

$\Leftrightarrow -2cos(\frac{\pi }{8}+2x)sin(\frac{\pi }{8}+x)=-2sin(\frac{\pi }{8}+x)sin(\frac{\pi }{8}-x)$

$\Leftrightarrow sin(\frac{\pi }{8}+x)[cos(\frac{\pi }{8}+2x)-sin(\frac{\pi }{8}-x)]=0$

$\Leftrightarrow sin(\frac{\pi }{8}+x)=0$ hoặc $cos(\frac{\pi }{8}+2x)=sin(\frac{\pi }{8}-x)=cos(\frac{3\pi }{8}+x)$

........

theo giả thiết: $a+2b+3c=1 và a, b, c\geq 0\Rightarrow 0\leq a\leq 1\Rightarrow a\leq \sqrt[6]{a^5}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$a+b=(a+b)(a+2b+3c)^2\geq 4(a+b)3c(a+2b)=12c(a+b)(a+2b)$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $(a+b)(a+2b)\geq 6ab$

Thật vậy, theo BĐT AM-GM: $(a+b)(a+2b)\geq 2\sqrt{ab}.3\sqrt[3]{ab^2}=6\sqrt[6]{ab}.b\geq 6ab$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{6}$ hoặc $a=b=0, c=\frac{1}{3}$

Áp dụng BĐT Cauchy cho $ab-2, bc-2,ca-2$:

$3\sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq (ab-2)+(bc-2)+(ca-2)$

$\Rightarrow 3\sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq (ab+bc+ca)-6\leq a^2+b^2+c^2-6=-3$

$\Rightarrow \sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq -1$

$\Rightarrow (ab-2)(bc-2)(ca-2)\leq 1$

$\Rightarrow (2-ab)(2-bc)(2-ca)\geq 1$(đpcm)

cái dùng AM-GM 3 số của bạn là sai. Vì luôn tồn tại 1 tích <2 theo giả thiết

3a+4b≥(3+4)23a+4b

 

 

Cám ơn bạn nhiều nhưng mình không hiểu lắm đoạn này

 

3a+4b≥(3+4)23a+4b

sử dụng BĐT Bunhiacopski dạng phân thức

Lời giải

Ta có $P=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}+1}+\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}+1}}$

Đặt $x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c}$ bài toán trở thành

Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}$. Tìm Min của $P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+1}}$

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz có

$\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{\begin{pmatrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \end{pmatrix}^2}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq 1\Leftrightarrow x+y\leq xy$

$\Rightarrow x^2+y^2+1\leq (x+y-1)^2$

Lại có $\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+\frac{(x+y)^2}{2}}=\frac{2(x+y)}{x+y+2}$

$\Rightarrow P\geq \frac{2(x+y)}{x+y+2}+\frac{1}{x+y-1}$

Đặt $t=x+y$. Theo BĐT $AM-GM$ ta có $1\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{t}\Leftrightarrow t\geq 4$

$P\geq \frac{2t}{t+2}+\frac{1}{t-1}=f(t)$

Khảo sát hàm $f(t)$ trên $[4;+\infty ]$

Ta có $f'(t)=\frac{3t(t-4)}{(t+2)^2(t-1)^2}\geq 0$ trên $[4;+\infty ]$

$\Rightarrow$ $f(t)$ đồng biến trên $[4;+\infty ]$

$\Rightarrow f(t)\geq f(4)=\frac{5}{3}$

Vậy Min $P=\frac{5}{3}$ $\Leftrightarrow x=y=2\Leftrightarrow a=b=2c$

Sơn ơi, biết dùng Đạo hàm rồi à?

Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz ta có:

$VT\geq \frac{(\sum a^3)^2}{2\sum a^3}=\frac{\sum a^3}{2}$

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Schur bậc ba ta có:

$\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)\geq 2\sum ab\sqrt{ab}=2 \Rightarrow \sum a^3\geq 2-3abc$

Lại có theo BĐT AM-GM: $1=\sum ab\sqrt{ab}=\sum (\sqrt{ab})^3\geq 3\sqrt[3]{(\sqrt{a^2b^2c^2}})^3= 3abc\Rightarrow -3abc\geq -1$

Suy Ra $\sum a^3\geq 2-1=1$

Do đó, $P\geq \frac{\sum a^3}{2}\geq \frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

KL: $Min P=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

    Cảm ơn bạn nhiều nhá     

không có gì đâu bạn!