Minhnguyenthe333

Tính

Cận dưới phải khác $0$ và tích phân trên cách làm giống như $\int \frac{dx}{x^3\ln x}$

Chú ý rằng $d\left ( \frac{1}{\ln x} \right )=\frac{-dx}{x\ln^2x}$ và $x^2=e^{2\ln x}$. Khi đó đặt $t=\frac{1}{\ln x}$ thì

$\int_{k}^{+\infty} \frac{dx}{x^3\ln x}=-\int_{k}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2}d\left ( \frac{1}{\ln x} \right )=-\int_{k}^{+\infty} \frac{dt}{te^{\frac{2}{t}}}=\int_{k}^{+\infty} \frac{e^{-u}}{u}du=-E_1(2\ln x)$   (trong đó $u=\frac{2}{t}$)

P/s: Ở trên là hàm tích phân mũ cấp 1...

Tính tích phân: $\int _{-1}^{\sqrt{2}} x^2 \sqrt{4-x^2} dx$

Đặt $x=2\sin t$ thì $dx=2\cos tdt$ và sử dụng $\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$

$\int_{-1}^{\sqrt{2}} x^2\sqrt{4-x^2}dx=4\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^22tdt=2t-\frac{\sin(4t)}{2}=\frac{5\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$

Tính tích phân: $\int _{-1}^{\sqrt{2}} x^2 \sqrt{4-x^2} dx$

Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\sum \frac{ab}{3+bc}\leq\frac{3}{4}$

$VT=\frac{abc(a^2b+b^2c+c^2a)+9(ab+bc+ca)+3abc+3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{a^2b^2c^2+9abc+9(ab+bc+ca)+27}$

+Áp dụng bđt Cauchy: $\sum_{cyclic} (a^3+a^2b+ab^2)\geqslant 3(a^2b+b^2+c^2a)\iff a^2+b^2+c^2\geqslant a^2b+b^2c+c^2a$

+Đổi biến $p,q,r$ thì ta được: $VT\leqslant \frac{3q^2-2qr+9q}{r^2+9r+9q+27}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{3q^2-2qr+9q}{r^2+9r+9q+27}\leqslant \frac{3}{4}\iff 3r^2+r(8q+27)-(12q^2+9q-81)\geqslant 0$ $(*)$

Ta xét 2 trường hợp:
$q\leqslant \frac{9}{4}:$ Theo Schur bậc 1 thì $r\geqslant \max\{0,\frac{p(4q-p^2)}{9}\}=\max\{0,\frac{4q-9}{3}\}=0$

Thế thì $(*)\geqslant (q+3)(\frac{9}{4}-q)\geqslant 0$

$\frac{9}{4}\leqslant q\leqslant 3:$ Theo Schur bậc 2 thì $r\geqslant \frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}=\frac{(4q-9)(9-q)}{18}$

Do đó $(*)\geqslant (q-3)(q-\frac{9}{4})(4q^2-117q+81)\geqslant 0$

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)\sim (1,1,1);(0,\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ và các hoán vị

Giải phương trình sau trên tập số nguyên:

$11+10^x+6^x=(\sqrt{3})^{y!}$

Từ giả thiết suy ra $x,y>0\iff 10+10^x+6^x=3^{\frac{y!}{2}}-1$

Ta có: $v_2(3^{\frac{y!}{2}}-1)=1+v_2(\frac{y!}{2})=1+v_2(y!)-v_2(2)=v_2(y!)$

Dễ thấy $v_2(10+10^x+6^x)=v_2(2)+v_2(5+2^{x-1}5^x+2^{x-1}3^x)=1$

Suy ra $2||y!$ kéo theo $y=2$ hoặc $y=3$

Từ đây ta tìm được $(x,y)=(1,3)$