Minhnguyenthe333

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường tròn $(K)$ tiếp xúc $(O)$ tại $D$ và tiếp xúc $AC,AB$ lần lượt tại $E,F$. $AL$ là đường kính của $(O)$. $KE,KF$ lần lượt cắt $LB,LC$ tại $M,N$.Chứng minh rằng $AD\perp MN$

Cho tam giác ABC nhọn. Một điểm D thay đổi trên BC. Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD.

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IJD luôn đi qua một điểm cố định

b) Gọi P,M là tiếp tuyến của (I) với AB,BC; gọi N,Q là tiếp tuyến của (J) với AC,BC. Gọi X là giao điểm của PM và NQ. Chứng minh XD vuông góc với IJ

Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ và 2 số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $\gcd(m,n)=1$ và

                $\frac{1}{0^2+1}+\frac{1}{1^2+1}+\frac{1}{2^2+1}+....+\frac{1}{(p-1)^2+1}=\frac{m}{n}$

Chứng minh rằng:  $p\mid 2m-n$

Cho $0<a_1\leqslant a_2\leqslant ...\leqslant a_n$ thỏa mãn $a_na_{\left \lfloor \frac{n+1}{2} \right \rfloor}\leqslant 1$

Chứng minh rằng:  $\frac{n}{1+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}}\geqslant \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+a_i}$     (Trích đề thi đề nghị 30/4/2015)

Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng $\forall m\in \mathbb{Z}$ luôn tồn tại đa thức $Q(x)$ với hệ số nguyên sao cho $p^m$ là ước lớn nhất của các số $a_n=(p+1)^n+Q(n)$ với $n=1,2,..$