Uchiha sisui

Lời nói đầu. Hàng năm mỗi Tỉnh, Thành Phố đều có một đề thi chọn ra những học sinh xuất sắc nhất để ôn tập phục vụ cho kì thi VMO. Với mục đích giúp các bạn có thêm tư liệu cũng như để học hỏi kinh nghiệm của bản thân, mình xin lập ra topic này! 

 

Yêu cầu:

 

-Nội dung các bài toán trong topic không giới hạn, miễn là ghi số thứ tự bài toán!

 

- Lời giải của bài toán phải đi kèm với hình vẽ, và yêu cầu gõ latex!

 

- Nhớ ghi nguồn cho bài toán, nếu không rõ nguồn có thể ghi '' Sưu tầm'' và nếu lời giải lấy của một ai đó thì nên tôn trọng người nghĩ ra lời giải đó và ghi tên người giải (tất nhiên có thể có những lời giải, ý tưởng trùng nhau)!

 

-Kiến thức giải toán là không giới hạn, các bạn có thể dùng nhiều phương pháp nhưng mình vẫn mong muốn có một phương pháp thuần túy nhất!

 

Hy vọng mọi người sẽ phục vụ cho topic này phát triển!

 

Còn bây giờ mình xin đề xuất một số bài toán sau!

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ với các đường đối trung $BE, CF$. Gọi $M, N$ là trung điểm của $BE, CF$. Chứng minh rằng $BN, CM$ và trung trực của $BC$ đồng quy. 

(IMO Shortlish 2006)

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB<AC)$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $N$ sao cho $BA=BN$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, đường tròn đường kính $AB$ cắt $(ANC)$ tại $P$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $MP$ cắt $PA$ tại $E$ . Đường thẳng qua $P$ song song với $MP$ cắt $PN$ tại $F$. Chứng minh rằng $PC$ đi qua trung điểm của $EF$.

(Trích đề thi HSG TP Hà Nội Vòng 2 năm 2016-2017)

 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Gọi $E, F$ lần lượt thuộc $CA, AB$ sao cho $EF$ song song với $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABE, ACF$ cắt nhau tại $G$ khác $A$. Gọi $D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Đường tròn qua $E, F$ tiếp xúc với $BC$ tại $L$. Chứng minh rằng bốn điểm $A, L , G, D$ đồng viên.

(Trần Quang Hùng)

Bài 4. Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$, tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn cắt $BC$ tại $D$. Đường thẳng $DO$ cắt $AB, AC$ tại $E, F$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC$. Chứng minh rằng $EN, FM, AO$ đồng quy.

(Sưu tầm)   

 

 

 

  

Cho tam giác ABC nhọn nõi tiếp đường tròn (O).Gọi P là một điểm bất kì trên đường đối trung tại đỉnh A của tam giác ABC. BP,CP lần lượt cắt CA,AB tại E,F.Gọi (AEF) cắt (O) tại Q .Tiếp tuyến tại A của (AQP) cắt BC tại T .Chứng minh rằng : TA = TP.

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 TP Hà Nội 

Ngày 30/09/2017

 

Bài 1. (4 điểm) Cho $x, y, z$ là các số hữu tỉ sao cho $x+y^{2}+z^{2}$, $y+z^{2}+x^{2}$ và $z+x^{2}+y^{2}$ đều là các số nguyên. Chứng minh rằng $2x$ là số nguyên.

 

Bài 2. (4 điểm) Cho hàm số $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện 

$f(tanx)=\frac{1}{2}sin2x-cos2x$       $\forall x\epsilon (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

Tìm giá trị lớn nhất là nhỏ nhất của biểu thức  $f(sin^{2}x).f(cos^{2}x)$ $(\forall x\epsilon R)$

 

Bài 3. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB< AC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$, $N$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BN=BA$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $(ANC)$ tại $P$. Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ vuông góc với  $MP$ và đường thẳng $AP$, $F$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ song song với $MP$ cắt $PN$ tại $F$. Chứng minh rằng $PC$ chia đôi $EF$.

 

Bài 4. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho: 

$(P(x))^{2}=2P(x^{2}-3)+1$   $(\forall x\epsilon R)$

 

Bài 5. (4 điểm) Với mọi $n\epsilon \left \{ 1,2,3 \right \}$ , ta gọi số tự nhiên $k$ là một số tự nhiên kiểu $n$ nếu $k=0$ hoặc $k$ là một số hạng của dãy $1;n+2;(n+2)^{2};(n+2)^{3};...$ hoặc $k$ là tổng của một số số hạng của dãy trên. Chứng minh rằng bất kì số nguyên dương nào cũng biểu diễn được dưới dạng tổng của một số kiểu 1 với một số kiểu 2 và một số kiểu 3.

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Gọi $T$ là giao điểm của $AI$ và $BC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là các điểm tiếp xúc của $BC, CA,AB$ với $I.$ AD cắt (AI) tại G. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AI$ tại $Q$. Chứng minh rằng $B,F,Q,T$ đồng viên.

 Ai cũng biết rằng ở thời điểm hiện tại nếu ai nghiên cứu về bất đẳng thức cũng biết đến cái tên pqr, bất đẳng thức SCHUR. Đây là một phương pháp mạnh cùng với bất đẳng thức schur có thể giải các bài toán liên quan đến đối xứng và hoán vị. Có nhiều topic trước đây đều đăng các bài toán về Bất Đẳng Thức rất hay nhưng chưa có topic nào nói về việc luyện tập cho chủ đề sử dụng phương pháp này. Với mong muốn chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi sắp tới, tôi xin lập ra topic này để mọi người chúng ta ai cũng nâng cao kĩ năng này và hiểu thêm về sức mạnh của nó !  

 

**** Trên mạng hiện tại đã xuất hiện nhiều tài liệu liên quan đến phần này vì thế tôi xin phép không up tài liệu này nữa mà xin áp dụng vào các bài tập luôn. Mong mọi người ủng hộ và up bài nhiều hơn để giữ lửa cho topic! Phạm vi của chủ đề là các bài toán bất đẳng thức ba biến sử dụng được phương pháp pqr - Bất đẳng thức Schur . Những bài toán không sử dụng phương pháp này tác giả sẽ xóa bài, mong mọi người thông cảm. Các bạn nên ghi nguồn cho từng bài toán, tên tác giả của bài toán đó, nếu không nhớ rõ để tên '' sưu tầm''. 

 

 

Sau đây xin đề xuất một số bài toán hay sau:

 

Bài 1. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}} + \sqrt{\frac{b}{2b^{2}+ca}} + \sqrt{\frac{c}{2c^{2}+ab}} \geq 2$ 

 

                                                                   (Võ Quốc Bá Cẩn)

 

Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{4}{81(ab+bc+ca)} + abc \geq \frac{5}{27}$  

 

                                                                   (Võ Thành Văn)

 

Bài 3. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{6-ab} + \frac{1}{6-bc} + \frac{1}{6-ca} \leq \frac{3}{5}$ 

 

                                                                        (Vasile Cirtoaje)

 

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi $a, b, c\geq 0$ ta có:

 

$2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + abc + 8\geq 5(a+b+c)$

 

(Trần Nam Dũng)