guongmatkhongquen

Cho ba số dương a,b,c.CMR
$\frac{4a^{2}+(b-c)^{2}}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{4b^{2}+(c-a)^{2}}{2b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{4c^{2}+(a-b)^{2}}{2c^{2}+a^{2}+b^{2}}\geq 3$

$\sqrt{x^{3}+1}-\sqrt{x+1}=x-2$

bài 1:cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn a+b+c+d=1

chứng minh $\frac{abc}{d+2}+\frac{bcd}{a+2}+\frac{cad}{b+2}+\frac{dab}{c+2}< \frac{1}{13}$

bài 2:cho a,b là các số dương thỏa mãn $ab+1\leq b$ chứng minh $(a+\frac{1}{a^2})+(b^2+\frac{1}{b})\geq 9$

bài 3:cho bốn số a,b,c,d đồng thời không có ba số nào bằng 0 chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{e}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2$

bài 4 cho a,b,c là các số dương thỏa mãn $a^2+2b^2\leq 3c^2$ chứng minh rằng $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

$4)\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{a\left ( b+c+d \right )}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}=>\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq 2$

Giải phương trình $\sqrt[4]{17-x^8}-\sqrt[3]{2x^8-1}=1$

Đặt$\sqrt[4]{17-x^{8}}=a;\sqrt[3]{2x^{8}-1}=b=>\left \{ a-b=1 \right.\left \{ 2a^{4}+b=33 \right.=>2a^{4}+a-34=0=>\left ( 2a^{3} \right+4a^{2}+8a+17 )\left ( a-2 \right )=0(a\geq 0)=>a=2=>\left \{ 17-x^{8} \right.=16\left \{ 2x^{8} \right.-1=1=>x^{8}=1=>x=\pm 1$

Giải phương trình: $8\sqrt{12+16x-16x^2}+4x-4x^2=33$

Phương trình <=>$8\sqrt{12+16x-16x^{2}}+(3+4x-4x^{2})=36<=>32\sqrt{12+16x-16x^{2}}+(12+16x-16x^{2})=144<=>\sqrt{12+16x-16x^{2}}=4<=>-16x^{2}+16x-4=0<=>x=\frac{1}{2}$

$pt\Leftrightarrow 5\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}=2(x^2-2x+4)+2(x+2)\\\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-2x+4}-2\sqrt{x+2})(2\sqrt{x^2-2x+4}-\sqrt{x+2})=0$

tới đây OK

$5\sqrt{x^{3}+8}=2(x^{2}-x+6)$

Đặt $\sqrt{x+2}=a;\sqrt{x^{2}-2x+4}=b=>2a^{2}-5ab+2b^{2}=0=>2(\frac{a}{b})^{2}-5\frac{a}{b}+2=0=>\left [ a=2b \right ]\left [ b=2a \right ]$

Bình phương 2 vế ta được
$4x^{4}-33x^{3}+52x^{2}-48x-56=0=>x=-0,6055512755$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}+\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}+\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}=x-\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq x-\frac{x}{2}=>\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}$

Nếu hỏi tại sao có thể tham khảo tài liệu của mk trg thời gian tới nha guongmatkhongquen

Thanks bạn ạ

Ta chứng minh rằng $\frac{1}{1+a^2}\geq \frac{-48}{169}a+\frac{124}{169}$ 

              tương đương với  $\frac{(2x-3)^2(12x+5)}{169(x^2+1)}\geq 0$ ( điều này luôn đúng nên ta sử dụng BĐT trên)

 Tương tự và cộng vế theo vế :

   $\Rightarrow A\geq \frac{16}{13}$ 

Làm saoo để mình có thể biết cách để tách nó ra thế nhỉ

$\left \{ a^{2}+ab+b \right.=b^{2}+3a$
$a^{2}+b^{4}-2b^{2}+2a+4=0$

Cho $a+b+c+d=6$ .Tìm Min A =$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}+\frac{1}{1+d^{2}}$
Với $a;b;c;d$ là các số thực dương

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}+4y^{2}=5 & \\ x+2y+4xy=7 & \end{matrix}\right.$

$x^{2}+4y^{2}=5=>(x+2y)^{2}-4xy=5=>(x+2y)^{2}+(x+2y)-12=0=>x+2y=3;x+2y=-4$
Sau đó thế vào phương trình 

$\frac{122x+121}{x^{2}+1}=\frac{(121x-122)\left ( x^{4}+14x^{2} +1\right )}{4x\left ( x^{4}-1 \right )}$

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a,b>0)$ (c/m dễ dàng bằng cách biến đổi tương đương)

Ta có: 

$\frac{4}{2x+y+z+4}\leq \frac{1}{x+y+2}+\frac{1}{x+z+2}\leq \frac{1}{2\sqrt{(x+1)(y+1)}}+\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(z+1)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{2}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$

Tương tự với 2 phân số còn lại ta suy ra:

$\sum \frac{4}{2x+y+z+4}\leq \sum \frac{1}{x+1}\rightarrow đpcm$

$\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(y+1)}}+\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(z+1)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{2}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$
chỗ này làm thế nào ạ,mình hơi ngu tí