mathstu

nguồn: lượm trên fb

nguồn: fb của bạn Nguyen Hoang Tung Lam

Câu 1: là bài 1  trong đề số 2 của đề thi Trường Đông 2015  

http://vndoc.com/dow...en-2015/113583 

Chào mọi người,

Đã gần một tháng sau khi Gặp Gỡ Toán Học 2016 kết thúc với tràn đầy những kỷ niệm đáng nhớ. Gặp Gỡ Toán Học năm nay có nhiều nét mới lạ, và cuốn Kỷ yếu Hậu Gặp Gỡ Toán Học chính là một trong những đổi mới ấy với mong muốn giúp các bạn học sinh có được một tài liệu đầy đủ về những gì đã được học tại Gặp Gỡ Toán Học. Chúng tôi hy vọng rằng đây sẽ là một tài liệu quý dành cho các bạn học sinh, các thầy, cô giáo và cũng như các bạn có một niềm đam mê với Toán học. Đồng thời, chúng tôi cũng luôn chờ đợi những lời góp ý của quý bạn đọc gần xa để cuốn Kỷ yếu được hoàn thiện hơn trong những lần phát hành sau.

----

p.s: mình xin phép được chia sẻ lên đây để mọi người cũng xem.  

Nguồn: fb của bạn Hiếu Digb

Đánh lại vì ảnh nhỏ.
Bài 5. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, giả sử $O$ không trùng giao điểm $G$ của $AC$ và $BD$ và $O$ không nằm trên đường thẳng $BD$.
Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$. Đường thẳng $OG$ cắt $EF$ tại $I$.
a. chứng minh $BEIC$ $DFIC$ VÀ $OBID$ nội tiếp đường tròn
b. gọi $M$ $N$ là tâm của đường tròn $(BCE)$ và $(DCF)$. Gọi $P$ $Q$ là giao điểm của $(CMN)$ và $(OBD)$. Chứng minh $OI$ $PQ$ và $MN$ đồng quy và tam giác $EAF$ và $MON$ đồng dạng
Bài 6. cho đa thức $P(x)=x^n-(p-1)x+p$ trong đó $n\geq 2$ và $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $P(x)$ phân tích thành 2 đa thức với hệ số nguyên khác đa thức hằng số thì $P(x)$ có nghiệm $z$ sao cho $\left | z \right |=1$
Bài 7 Cho $p>5$ là số nguyên tố và $p\neq 107$ ta viết
$\frac{1}{1^{2003}}+\frac{1}{2^{2003}}+...+\frac{1}{(P-1)^{2003}}=\frac{a}{b}$
Trong đó $a$ $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh $p^2\setminus a$
@Zaraki: Cho phép mình gộp hai bài viết lại để mọi người dễ đọc + thấy được đề trên trang chủ.

nguồn: fb 

Ý của mình là $n=2$ là nghiệm duy nhất. Bạn đọc lại đi, mình giải ra $n$ đấy chứ. 

ok mình sửa lại với $M$ là điểm bất kỳ rồi. Tại tối qua suy nghĩ không kỹ sorry nha 

Cho tam giác $ABC$ điểm $M$  bất kỳ . Gọi $\left\{\begin{matrix} \alpha=\measuredangle BMC \\ \beta=\measuredangle BMA\\ \delta =\measuredangle AMC \end{matrix}\right.$

Có thể tìm điểm $M$ để thõa mãn $\left\{\begin{matrix} \alpha =n\measuredangle A\\ \beta =n\measuredangle C\\ \delta=n\measuredangle B \end{matrix}\right.$   với $n$ là 1 số không âm  hay không ? 

Cho a,b là hai số thực phân biệt sao cho: $a-b$, $a^2-b^2$, $a^3-b^3$,... đều là số nguyên. Chứng minh rằng $a,b$ cũng là số nguyên dương.

bài toán phụ: cho $a,b$ là 2 số hữu tỉ phân biệt sao cho $a^n-b^n\in Z+$ thì $a,b$ cũng là số nguyên

trở lại bài toán dễ dàng cm được $a,b$ là số hữu tỉ áp dụng bài toán trên --> đpcm

tìm  $n$ thõa $(n+3)^n=\sum_{k=3}^{n+2}k^{n}$  với $k,n$ là số nguyên dương

http://diendantoanho...e-1#entry285095

xem bài  $3a$ 

chứng minh tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}+y^{2}+1=3xy$  là $(x,y)=(F_{2k-1},F_{2k+1})$

với  $F_{n}$ là dãy Fibonacci

Có ai chứng minh hộ định lý Fagnano đk k?

http://www.math.uoc....ms/Fagnano.html

1 cách cm nhưng chắc lên cấp 3 mới hiểu

http://forumgeom.fau...e4/FG200422.pdf

 

 Bài toán 2:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 

$x+y+z=3.$

 

 Chứng minh rằng:

 

$x+xy+2xyz\leq \frac{9}{2}.$

 

 

 P/S:

 

 Có bạn nào có hướng tiếp cận cho Bài toán 1 chưa?

 

dự đoán $x=\frac{3}{2};y=1;z=\frac{1}{2}$

ta có $x+xy+2xyz=x+xy(1+2z)\leq x+2x(\frac{b+c+\frac{1}{2}}{2})^{2}=x+2x(\frac{7-2x}{4})^{2}$

cần cm $x+2x(\frac{7-2x}{4})^{2}\le \frac{9}{2}$

<=> $(4-a)(2a-3)^{2}\ge 0$

dấu = $x=\frac{3}{2};y=1;z=\frac{1}{2}$