Nguyen Van Luc

Cho 1 điểm $M$ nằm bên trong hình bình hành $ABCD$.

chứng minh rằng $MA.MC+MB.MD  \leq AC.BC$

Mọi người giúp em 2 bài này với ạ! 

1, Cho $a,b,c$ là  3 số dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$

Chứng minh rằng $a+b+c \leq  3$

2, Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $a+b+c+abc=4$

chứng minh rằng $a^2+b^2+c^2+12 \geq 5(ab+bc+ca)$

1, Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $\frac{x^2y+xy^2+8x}{xy^2+4y}$ là số nguyên

2, Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thoả mãn

a, $(x-1)P(x+1)-(x+1)P(x-1)=4P(x)$

b, $P^3(x)-3P^2(x)=P(x^3)-3P(-x)$

Có ai biết để làm tốt những phần này thì nên học gì chỉ giùm mình với ạ. 

Bài 1:  Cho $a_1;a_2;...;a_n \geq 0$ thoả mãn $a_1+a_2+...+a_n=1$

chứng minh rằng $S=(a_1+a_2)(a_1+a_2+a_3)(a_1+a_2+a_3+a_4)...(a_1+a_2+...+a_{n-1}) \geq 4^{n-1}a_1a_2...a_n$

Bài 2: Cho $a_1;a_2;...;a_n \geq 0$ thoả mãn $a_1+a_2+...+a_n=0$ và $|a_1|+|a_2|+,,,+|a_n|=1$,

Tìm giá trị lớn nhất của  $P=\prod_{1\leq i \leq j \leq n }|a_i-a_j| $

có hai bài cuối sách, ai công lực cao tư vấn giúp với ạ.!

Chứng minh BĐT $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}+\frac{2(ab+bc+ca)}{3(a^2+b^2+c^2)} \geq  \frac{13}{6} \forall a,b,c>0$