thanhtuoanh

bn thì chuyện tin hay toán vậy. minh thi chuyen tin ma đứng thứ 25 với bằng điểm 1 người không biết có phải bn không.

bạn đó thi chuyên toán. Mình cũng chuyên tin nè, hello bạn cùng lớp =))

Bạn bè yêu toán gần xa

Diễn đàn toán học nghe quen lạ thường

Diễn đàn biết mấy thân thương

Giúp ta học toán, tiếp niềm đam mê

Đam mê toán học đã lâu

Tình yêu "bùng nổ" khi lên diễn đàn

Và cũng nhờ có diễn đàn

Mà ta biết được biết bao bạn bè

Bạn bè họ cũng như ta

Cũng yêu toán học, cũng nhiều đam mê ...

 Tết đến xuân về kính chúc mọi người nhiều sức khỏe và nhiều tình yêu Toán  

Giúp mình bài này:

Bài 22:Tồn tại hay không số tự nhiên $x$ thỏa mãn:

a)$x^2+x+1 \vdots 31$

 

Giả sử tồn tại số tự nhiên x thỏa mãn $x^2+x+1 \vdots 31$ ta có:

$x^2+x+1 \vdots 31$ <=> $x^2+x-30+31 \vdots 31$

<=> (x-5)(x+6) +31 $\vdots 31$

<=> (x-5)(x+6)  $\vdots 31$

<=>x-5 $\vdots 31$ hoặc x+6 $\vdots 31$ (do 31 là SNT)

<=> x-5=31m hoặc x+6=31n (m,n là STN)

<=> x=31m+5 hoặc x=31n-6

Vậy tồn tại số tự nhiên x thỏa mãn đề bài với  x=31m+5 hoặc x=31n-6

Bài 13 : Tìm số tự nhiên $n,k$ lớn nhất sao cho : 
a) $29^n$ là ước của $2003!$ (kí hiệu $n!=n.(n-1).(n-2)...2.1$ 
b) $(1994!)^{1995} \vdots 1995^k$ 
 

a)Các số chia hết cho $29$ trong khoảng từ $1-2003$ là $29.1;29.2;...;29.69$

$\Rightarrow 2003!=29^{69}.69.A((A,29)=1)$

Các số chia hết cho $29$ trong khoảng từ $1-69$ là $29.1;29.2$

$\Rightarrow 69!=29^2.2!.B((B,29)=1)\Rightarrow 2003!=29^{71}.2.A.B \Rightarrow n=71$

b)Phân tích  $1995^k$  ra thừa số nguyên tố:

                       $1995^k=3^k.5^k.7^k.19^k$

Số mũ lớn nhất của 19 là:

     $\left \lfloor \frac{1994}{19^1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{1994}{19^2}\right \rfloor + \left \lfloor \frac{1994}{19^3} \right \rfloor=109$

Tương tự , số mũ lớn nhất của $7,5,3$ lần lượt là $329, 495,992$

Do đó  $1994!=3^{992}.5^{495}.7^{329}.19^{109}.P$  ( trong đó $P$ không chứa các thừa số nguyên tố $3,5,7,19$)

$\Rightarrow (1994!)^{1995}=(3^{992}.5^{495}.7^{329}.19^{109}.P)^{1995}=1995^{109.1995}.(3^{883}.5^{386}.7^{220}.P)^{1995}$

Từ đó  $(1994!)^{1995}\vdots 1995^k\Leftrightarrow 1995^{109.1995}\vdots 1995^k\Rightarrow k\leq 109.1995=217455$

     Vậy  $k$ lớn nhất là  $217455$

Bài 12 : Cho $a,b \in N$ chứng minh rằng $5a^2+15ab-b^2 \vdots 49 \leftrightarrow 3a+b \vdots 7$ 

$5a^2+15ab-b^2 \vdots 49\Rightarrow 5a^2+15ab-b^2 \vdots 7\Leftrightarrow 5a^2+7a^2+ab+14ab-b^2\vdots 7\Leftrightarrow 12a^{2}+ab-b^2\vdots 7\Leftrightarrow (4a-b)(3a+b)\vdots 7\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 4a-b\vdots 7 & \\ 3a+b\vdots 7\rightarrow đpcm & \end{bmatrix}$

$3a+b\vdots 7\Rightarrow 7a-(3a+b)\vdots 7\Leftrightarrow 4a-b\vdots 7\Leftrightarrow (4a-b)-(3a+b)\vdots 7\Leftrightarrow a-2b\vdots 7\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (3a+b)^{2}\vdots 49 & \\ (4a-b)(a-2b)\vdots 49 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (3a+b)^{2}-(4a-b)(a-2b)\vdots 49\Leftrightarrow 5a^{2}+15ab-b^{2}\vdots 49\rightarrow đpcm$

Bài 11 : Chứng minh rằng : 
a) $m^3+3m^2-m-3$ chia hết cho $48$ với $m$ lẻ 
b) $4n^3-6n^2+3n+37$ không chia hết cho $125$ với mọi $n \in N$ 

a)$m^3+3m^2-m-3= (m-1)(m+1)(m+3)$

Vì $m$ lẻ nên $m-1;m+1;m+3$ là số nguyên dương lẻ liên tiếp suy ra $(m-1)(m+1)(m+3)\vdots 16$

và tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho $3$

Mà $(16,3)=1$ nên ta có đpcm

b)Giả sử $4n^3-6n^2+3n+37\vdots 125\Rightarrow 2(4n^3-6n^2+3n+37)\vdots 5\Leftrightarrow (2n-1)^{3}+75\vdots 5\Leftrightarrow (2n-1)^{3}\vdots 5\Leftrightarrow 2n-1\vdots 5\Leftrightarrow (2n-1)^{3}\vdots 125\Leftrightarrow (2n-1)^{3}+75$

không chia hết cho $125$ suy ra $2(4n^3-6n^2+3n+37)$ không chia hết cho $125$ suy ra $(4n^3-6n^2+3n+37)$  không chia hết cho $125$(mâu thuẫn)

Ta có đpcm

Bài 9 : Cho $n$ là số nguyên dương . Tính bội chung nhỏ nhất của các số $n,n+1,n+2$ 

Sử dụng tính chất $[a,b,c]=[[a,b],c]$.
Nếu 3 số đó có dạng $2k+1$, $2k+2$, $2k+3$, $k\in N$ thì bội chung nhỏ nhất là $2(k+1)(2k+1)(2k+3)$
Nếu 3 số đó có dạng $2m$, $2m+1$, $2m+2$, $k\in N$ thì bội chung nhỏ nhất là $2m(m+1)(2m+1)$

Ta đến với các bài toán tiếp theo : 
Bài 6 : Giả sử $(a,n)=p$ và $(b,n)=q$. Chứng minh rằng $(ab,n)=(pq,n) 
Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ ta luôn có : $A=2005^n+60^n-1897^n-168^n$ chia hết cho $2004$

Ta có $2005^{n}-1897^{n}\vdots (2005-1897)=108\vdots 12;60^{n}\vdots 12;-168^{n}\vdots 12\Rightarrow A\vdots 12$

$\left\{\begin{matrix} 2005^{n}-168^{n} \vdots (2005-168)=1837\vdots 167& \\ 60^{n}-1897^{n}\vdots (1897-60) =1837\vdots 167& \end{matrix}\right.\Rightarrow A\vdots 167$

Mà $(167;12)=1$ suy ra $A$ chia hết cho $167.12=2004$

Từ gt: có số đo 1 góc = trung bình cộng 2 góc còn lại  => có 1 góc =$60^{\circ}$ (1)

Ta có: $\sqrt{a+b-c}=\sqrt{a}+ \sqrt{b}-\sqrt{c}$

<=> $a+b-c = a + b+c +2\sqrt{ab} - 2\sqrt{bc} - 2\sqrt{ca}$

<=>$ \sqrt{ab} +c = \sqrt{bc} + \sqrt{ca}$

<=>$ab + 2c\sqrt{ab} + c^{2}$

<=>$ bc + 2\sqrt{bc.ca} + ca$

<=>$ ab + c^{2} = bc + ca$

<=>$ (a-c)(b-c)=0$

<=> a=c hoặc b=c

=> Tam giác đó là tam giác cân (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra tam giác đó là tam giác đều (đpcm)

b) Áp dụng BĐT Bu-nhia và BĐT phụ 3(ab+bc+ca) $\leq (a+b+c)^{2}$  ta có:

 $3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

<=> $3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2}) 3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$

<=> $3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2})$

<=>$ 3(a^{2}b+b^{2}a+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Cho a,b,c thỏa $c^{2}=2\ \left ( ac+bc-ab \right )$.

Chứng minh rằng $\frac{a^{2}+\left ( a-c \right )^{2}}{b^{2}+\left ( b-c \right )^{2}}=\frac{a-c}{b-c}$

$\frac{a^{2}+\left ( a-c \right )^{2}}{b^{2}+\left ( b-c \right )^{2}}=\frac{2a^{2}-2ac+2 ( ac+bc-ab )}{2b^{2}-2bc+2 ( ac+bc-ab )}=\frac{a^{2}+bc-ab}{b^{2}+ac-ab}$

Cần cm $\frac{a^{2}+bc-ab}{b^{2}+ac-ab}=\frac{a-c}{b-c}\Leftrightarrow (a^{2}+bc-ab)(b-c)=(a-c)(b^{2}+ac-ab)\Leftrightarrow (a-b)(c^2-2bc-2ac+2ab)=0$ (luôn đúng vì theo gt $c^{2}=2\ \left ( ac+bc-ab \right )$.)

Ta có đpcm

Cho a² +b² +c² +3 = 2(a+b+c)(1)

CMR: a=b=c=1

$(1)\Leftrightarrow (a^{2}-2a+1)+(b^{2}-2b+1)+(c^{2}-2c+1)=0\Leftrightarrow (a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-1)^{2}=0 & & \\ (b-1)^{2}=0 & & \\ (c-1)^{2}=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1\rightarrow đpcm$

$\left\{\begin{matrix} \left ( 4x^{2}+1 \right )x+\left ( y-3 \right )\sqrt{5-2y}=0\\ 4x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3-4x}=7 \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ:$\left\{\begin{matrix} x\leq \frac{3}{4}&&\\y\leq \frac{5}{2}&&\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0(1)&&\\4x^2+2y+2\sqrt{3-4x}=7(2)&&\end{matrix}\right.$
Đặt $2x=a,\sqrt{5-2y}=b,$ từ $PT(1)$ ta có:
$\frac{a}{2}.(a^2+1)+b(\frac{5-b^2}{2}-3)=0$
$\Leftrightarrow a^3-b^3+a-b=0\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0$
$\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow 2x=\sqrt{5-2y}$
$\Leftrightarrow y=\frac{5-4x^2}{2}$
Thế vào $PT(2)$ ta có:
$4x^2+5-4x^2+2\sqrt{3-4x}=7\Leftrightarrow \sqrt{3-4x}=1$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=2$
Vậy $\boxed{(x;y)=(\frac{1}{2};2)}$

$\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x^{2}+9x+27=y^{3}+3y^{2}-9y\\ x^{2}+y^{2}-x-y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Mình nghĩ đề đúng là như thế này

Đây

2,cho $a,b\geq 0$ và a+b=2 tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Q=$(a^2+1)(b^2+1)$ 

Min:$Q=(a^2+1)(b^2+1)=a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1=a^{2}b^{2}+(a+b)^{2}-2ab+1\Leftrightarrow (ab-1)^{2}+4\geq 4$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=1$

Mình nghĩ bài này không có GTLN