revenge

Bài 26 (Azerbaijan JMO). Cho $n\in\mathbb{N}$. Chứng minh rằng:

\[n\sqrt[n+1]{n+2}+\sqrt[n+1]{n+2}-1<n+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n+1}\]

bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+...+\frac{n+2}{n+1}>(n+1)\sqrt[n+1]{n+2}$

đúng theo AM-GM nhưng đấu bằng không xảy ra

em có lời giải bằng talet cho câu b) và mở rông

trong mở rộng khi cho AD là phân giác thì A,I,Y thẳng và khi AD là trung tuyến thì A,T,P,U,Y thẳng nên ta cũng suy ra bài USAMO 2008

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A. P$ là điểm di chuyển trên $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.

Chứng minh rằng $ST$ luôn đi qua iểm cố định khi $P$ di chuyển.

 

bài này vẫn đúng nếu AD không phải là đường phân giác

đề: cho tam giác ABC nội tiếp (O) lấy D bất kì trên cung BC không chứa A , P nằm trên doạn  $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

do abc=1 nên ta có thể thay $a=\frac{yz}{x^2},b=\frac{xz}{y^2},c=\frac{xy}{z^2}$

vậy ta phải chứng minh

$\sum \frac{x^2}{2yz+x^2}\geq 1$

cái này đúng theo C-S

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$

$\Leftrightarrow 4\sum ab+4\sum a+3\geq 8abc+4 \sum ab+2\sum a+1 \Leftrightarrow 2 \sum a +2 \geq 8abc\Leftrightarrow \sum a \geq 3$

cái bất dẳng thức cuối dúng theo AM-GM