Element hero Neos

Cho phương trình $\frac{1}{2}log_{2}(x+2)+x+3=log_{2}\frac{2x+1}{x}+(1+\frac{1}{x})^{2}+2\sqrt{x+2}$.

Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của nó. Tính S.

http://www.askmath.v...e2-b91246fa6786

Bạn xem lại xem liệu có nhầm đề không?

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=$\frac{sinx + cosx + 1}{\sqrt{2+sin2x}}$.

Khi đó M+$\sqrt{3}$ m=?

Có 

$\sqrt{2+sin2x}=\sqrt{1+cos^2x+sin^2x+2sinx.cosx}=\sqrt{1+(cosx+sinx)^2}$

Suy ra 

$y=\frac{1+(sinx+cosx)}{\sqrt{1+(sinx+cosx)^2}}=\frac{1+t}{\sqrt{1+t^2}}$

với 

$t=sinx+cosx, t\in {[-\sqrt{2};\sqrt{2}]}$

Lại có 

$y'=\frac{1-t}{(1+t^2)\sqrt{1+t^2}}=0\Leftrightarrow t=1$

Tính được 

$f(-\sqrt{2})=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{3}};f(1)=\sqrt{2};f(\sqrt{2})=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Do đó 

$M+m\sqrt{3}=\sqrt{2}+\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=1$

Tìm $a$ để hàm số $y=\frac{a \sin x-\cos x-1}{a\cos x}$ có 3 điểm cực trị thuộc khoảng $(0;\frac{9\pi}{4})$

https://diendantoanh...-cos-x-1mcos-x/

12. Một người muốn gửi tiền vào ngân hàng để đến ngày $15/3/2020$ rút được khoản tiền là $60.000.000$ đồng (cả vốn ban đầu và lãi) Lãi suất ngân hàng là $0,55$%/ tháng, tính theo thể thức lãi kép. Hỏi vào ngày $15/4/2018$ người đó phải gửi vào ngân hàng số tiến là bao nhiêu để đáp ứng nhu cầu trên, nếu lãi suất ko đổi trong thời gian người đó gửi tiền (giá trị gần đúng làm tròn đến hàng nghìn)?

A. $52.889.000$ đồng

B. $52.599.000$ đồng

C. $52.312.000$ đồng

D. $53.180.000$ đồng

Câu này phải làm sao?? Tớ chuyển lãi suất sang năm rồi là $0,66$%, cũng có cộng thêm 1 tháng bị dư ra nữa. Nhưng cũng ko ra =((( Ahuhuuuu 

Đổi sang năm thì lãi suất là $6,6$% chứ nhể? Sao k để tháng mà tính?

Có $T_n=A(1+r)^n,r=x$%, thay vào tính ra $A=52.888.777$, khoanh A.

Cho $a\geq \frac{1}{2}, \frac{a}{b}> 1$. Tìm min của:  $\frac{3a^3+1}{6b(a-b)}$

 

Mk nghĩ bài này khá quen thuộc     

Áp dụng AM-GM có 

$\frac{3a^3+1}{6b(a-b)}\geq\frac{3a^3+1}{6.\frac{(b+a-b)^2}{4}}=\frac{6a^3+2}{3a^2}=2a+\frac{2}{3a^2}=a+a+\frac{2}{3a^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

Dấu "=" xảy ra khi 

$a=a=\frac{2}{3a^2}\Leftrightarrow a=\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

Vậy ...

 Viết số $2005^{2006}$ thành tổng của các số tự nhiên rồi đem cộng tổng các chữ số của chúng lại. Hỏi kết quả nhận được có thể là 2006 hoặc 2007 được không ? Vì sao ?

Không.

2005 chia 3 dư 1, nên ${2005}^{2006}$ chia 3 dư 1, nên khi viết thành các số rồi cộng tổng các chữ số lại cũng chia 3 dư 1.

Mà 2006 chia 3 dư 2, 2007 chia hết cho 3.

Do đó mâu thuẫn.

Chứng minh rằng $C_{22}^{3}+C_{22}^{7}+C_{22}^{11}+C_{22}^{15}+C_{22}^{19}=2^{20}+2^{10}$

Ta thấy có $4$ căn bậc $4$ của đơn vị là $\left\{\begin{matrix}\varepsilon_1=i\\\varepsilon_2=i^2=-1\\\varepsilon_3=i^3=-i\\\varepsilon_4=i^4=1\end{matrix}\right.$

Ta tính các khai triển sau

   $\varepsilon_1.(1+\varepsilon_1)^{22}=C_{22}^{0}.\varepsilon_1^1+C_{22}^{1}.\varepsilon_1^2+C_{22}^{2}.\varepsilon_1^3+C_{22}^{3}.\varepsilon_1^4+...+C_{22}^{22}.\varepsilon_1^{23}$

   $\varepsilon_2.(1+\varepsilon_2)^{22}=C_{22}^{0}.\varepsilon_2^1+C_{22}^{1}.\varepsilon_2^2+C_{22}^{2}.\varepsilon_2^3+C_{22}^{3}.\varepsilon_2^4+...+C_{22}^{22}.\varepsilon_2^{23}$

   $\varepsilon_3.(1+\varepsilon_3)^{22}=C_{22}^{0}.\varepsilon_3^1+C_{22}^{1}.\varepsilon_3^2+C_{22}^{2}.\varepsilon_3^3+C_{22}^{3}.\varepsilon_3^4+...+C_{22}^{22}.\varepsilon_3^{23}$

   $\varepsilon_4.(1+\varepsilon_4)^{22}=C_{22}^{0}.\varepsilon_4^1+C_{22}^{1}.\varepsilon_4^2+C_{22}^{2}.\varepsilon_4^3+C_{22}^{3}.\varepsilon_4^4+...+C_{22}^{22}.\varepsilon_3^{23}$ 

Do đó

   $\sum_{i=1}^{4}\varepsilon_i.(1+\varepsilon_i)^{22}=C_{22}^{0}(\varepsilon_1^1+\varepsilon_2^1+\varepsilon_3^1+\varepsilon_4^1)+C_{22}^{1}(\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2+\varepsilon_3^2+\varepsilon_4^2)+C_{22}^{2}(\varepsilon_1^3+\varepsilon_2^3+\varepsilon_3^3+\varepsilon_4^3)+C_{22}^{3}(\varepsilon_1^4+\varepsilon_2^4+\varepsilon_3^4+\varepsilon_4^4)+...+C_{22}^{22}(\varepsilon_1^{23}+\varepsilon_2^{23}+\varepsilon_3^{23}+\varepsilon_4^{23})=4(C_{22}^{3}+C_{22}^{7}+C_{22}^{11}+C_{22}^{15}+C_{22}^{19})$

Mặt khác ta có

   $\sum_{i=1}^{4}\varepsilon_i.(1+\varepsilon_i)^{22}=\varepsilon_1.(1+\varepsilon_1)^{22}+\varepsilon_2.(1+\varepsilon_2)^{22}+\varepsilon_3.(1+\varepsilon_3)^{22}+\varepsilon_4.(1+\varepsilon_4)^{22}=i.(-2^{11})i+(-1).0+(-i).2^{11}i+2^{22}=2^{22}+2^{12}$

Vậy ta có đpcm.

Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ, các ván đấu không có tỉ số hòa. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng? 

 

Bài này mình tính ra đáp án là $\dfrac{7}{8}$ ($=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}$) nhưng đáp số lại là $\dfrac{3}{4}$

Rõ ràng là có $4$ khả năng để trận đấu kết thúc, đó là 

   $1,$ Người chơi thứ nhất thắng ván tiếp theo.

   $2,$ Người chơi thứ hai thắng ván tiếp theo, rồi người chơi thứ nhất lại thắng ở ván sau đó.

   $3,$ Người chơi thứ hai thắng 2 ván liên tiếp, rồi người chơi thứ nhất lại thắng ở ván sau đó.

   $4,$ Người chơi thứ hai thắng 3 ván liên tiếp sau đó.

Và trong đó chỉ có $3$ khả năng là $1,2$ và $3$ thì người thứ nhất thắng chung cuộc, vậy xác suất là $\frac{3}{4}$

CodeCogsEqn.gif

$Pt\Leftrightarrow 2^{2x^2+2x}+2^{1-x^2}=2^{x^2+2x+1}+1$

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2x^2+2x=a\\ 1-x^2=b \end{matrix}\right.\Rightarrow x^2+2x+1=a+b$

Khi đó phương trình trở thành

$2^a+2^b=2^{a+b}+1$

$\Leftrightarrow (2^a-1)(2^b-1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0\\ b=0 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2x^2+2x=0\\ 1-x^2=0 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=\pm 1 \end{bmatrix}$

Với p $\in$ $P$, $p>5$ và có tận cùng là chữ số khác 1 hay 9.

 

Chứng minh   $p^{2} - 19$ $\vdots$ $30$.

$p\in \mathbb{P},p>5$, tận cùng khác 1 và 9 thì $p$ tận cùng là 3 hoặc 7, suy ra $p^2$ tận cùng là 9, suy ra $p^2-19$ chia hết cho $10$

Mặt khác do $p$ lẻ nên $p^2$ chia $3$ dư $1$, suy ra $p^2-19$ chia hết cho $3$.

Vậy ta có đpcm.

Câu dễ làm trước vậy :

pt $\Rightarrow (x^3-3x^2-3x)^2=(2\sqrt{(x+1)^3})^2$

$\Leftrightarrow x^6-6x^5+3x^4+14x^3-3x^2-12x-4=0$

$\Leftrightarrow (x^2-4x-4)(x^4-2x^3-x^2+2x+1)=0$

 

Đến đây dễ rồi .

$x^4-2x^3-x^2+2x+1=(x^2-x-1)^2$ :v

Với $a=b=3$ và $c=4$ thì $A=16$ là hợp số mà bạn.

Lúc trước khi sửa đề thì $A=11$ còn khi bạn sửa xong thì thành $A=16$, có lẽ mạng chậm nên cập nhật câu trả lời hơi chậm :v

Chứng đẳng thức sau bằng 2 cách

$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k.2^k.(C_n^k)^2=2^n\sum_{k=0}^{n}(-1)^k.C_n^k.C_{2n}^{k}$

Chứng minh:  $\inline \frac{2}{\sqrt{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125}}}=1+\sqrt[4]{5}$

Để ý thấy

$4=5-1=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt[4]{5}+1)(\sqrt{5}+1)$

Do vậy, ta sẽ chứng minh

$2\sqrt{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125}}=(\sqrt[4]{5}-1)(\sqrt{5}+1)$

$\Leftrightarrow 4(4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125})=(\sqrt[4]{5}-1)^2(\sqrt{5}+1)^2$

$\Leftrightarrow 16-12\sqrt[4]{5}+8\sqrt{5}-4\sqrt[4]{125}=(\sqrt{5}-2\sqrt[4]{5}+1)(6+2\sqrt{5})$

Nhân tung ra thấy 2 vế bằng nhau là được.

chứng minh $\frac{2}{4-3\sqrt[4]{5}+2\sqrt{5}-\sqrt[4]{125}}=1+\sqrt[4]{5}$

Bấm máy tính thấy sai đề :v