meomunsociu

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(T):x^{2}+y^{2}-4x-2y=0$, phân giác trong của góc $\widehat{BAC}$ có phương trình là $\Delta:x-y=0$ và trọng tâm tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d:4x+7y-13=0$. Viết phương trình đường thẳng $BC$ biết $A$ có hoành độ dương.

Hình vẽ: Cách này dài quá

Kéo dài phân giác $AD$ cắt $(T)$ tại $K$

Dễ dàng chứng minh đc $TK$ vuông góc $BC$ tại trung điểm $M$

Tọa độ $A$ là nghiệm hệ:

$\left\{\begin{matrix} x-y=0 & & \\ x^2+y^2-4x-2y=0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow A(3;3)$. Tương thự tính đc $K(0;0)$ 

Gọi $M(a;b)$. Do $\underset{TM}{\rightarrow}$ cp $\underset{TK}{\rightarrow}$ :$\frac{a-2}{-2}=\frac{b-1}{-1}\Leftrightarrow a=2b\Leftrightarrow M(2b;b)$

Mặt khác $\underset{AG}{\rightarrow}=\frac{2}{3}\underset{AM}{\rightarrow}$ và $G\in 4x+7y-13=0$

$\rightarrow M(\frac{2}{5};\frac{1}{5})$

PT đường thẳng $BC$ đi qua $M(\frac{2}{5};\frac{1}{5})$ và nhận $\underset{KT}{\rightarrow}$ (2;1) làm VTPT là: $2(x-\frac{2}{5})+1(y-\frac{1}{5})=0\Leftrightarrow 2x+y-1=0$

Vậy 

Cho $\sum a^{2}=3$

Chứng minh : $\sum \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}\leq \sqrt{3}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: 

• $\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}\leq \sqrt{(a+b+c)(\sum \frac{a}{a^2+b+c})}$
• $(a^2+b^2+c^2)^2=3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+c\leq a^2+b^2+c^2=3$
• $\sum \frac{a}{a^2+b+c}=\sum \frac{a(1+b+c)}{(a^2+b+c)(1+b+c)}\leq \sum \frac{a+ab+ac}{(a+b+c)^2}=\frac{a+b+c+2(ab+bc+ca))}{(a+b+c)^2}\leq 1$

Từ 3 BĐT trên ta có ĐPCM.

Dấu ''=''xảy ra tại $a=b=c=1$

CMR $\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}} +\sqrt{x^{2}+xz+z^{2}}\geq \sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}$

Áp dụng BĐT Mincopxky:

$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}=\sqrt{(x+\frac{y}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}y)^2}+\sqrt{(-x-\frac{z}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}z)^2}\geq \sqrt{(\frac{y-z}{2})^2+\frac{3}{4}(y+z)^2}=\sqrt{y^2+yz+z^2}$ 

$\rightarrow Q.E.D$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \frac{x+\frac{y}{2}}{-x-\frac{z}{2}}=\frac{y}{z}\Leftrightarrow xy+yz+zx=0$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Tìm Min 

$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Đặt $a^2+b^2+c^2=t$. Do $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\rightarrow t\geq 3$

$ab+bc+ca=\frac{9-t}{2}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}\leq \sqrt{(\sum a^2)(\sum a^2)^{2}}\doteq \sqrt{\frac{t^3}{3}}\doteq \sqrt{\frac{t^3}{3}.3.\frac{1}{3}}\leq \sqrt{\frac{t^4}{9}}\doteq \frac{t^2}{3}$ (Do $3\leq t$)

Do đó cần CM:

$t+\frac{\frac{9-t}{2}}{\frac{t^2}{3}}\geq 4$

$\Leftrightarrow (t-3)(2t^2-2t-9)\geq 0$ (Đúng do $t\geq 3$)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1

Cho các số thực x, y>0 thỏa mãn $3x+y\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$

Áp dung BĐT AM-GM kết hợp gt $3x+y\leq 1$ ta có:

$S= \frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\geq \frac{3x+y}{x}+\frac{2}{x+y}\geq \frac{3x+y}{x}+\frac{6x+2y}{x+y}= \frac{x+y}{x}+\frac{4x}{x+y}+4$

$\rightarrow S\geq 4+4 \rightarrow S\geq 8$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Cho a,b,c không âm: $a+b+c=1$

Tìm Max: $P=a^3+b^3+c^3-a^4-b^4-c^4$

Giải:

Ta có:

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc=(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)+3abc$

$a^4+b^4+c^4=(\sum a^2)^2-2(\sum a^2b^2)=(\sum a^2)^2-2((ab+bc+ca)^2-2abc)$

$\Rightarrow P=(\sum a^2)-(\sum a^2)^2-(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ca)^2-abc$

Đặt $t=ab+bc+ca$

Do $abc\geq 0$ nên $P\leq (1-2t)-(1-2t)^2-t+2t^2$

$\rightarrow P\leq -2t^2+t=-2(t-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{8}\leq \frac{1}{8}$

Dấu $"="$ xảy ra tại $\left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ b=c=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị.

Cho a,b,c>0 và (a+b)(b+c)(c+a)=8. Tìm min

 

$P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$P\geq \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{\sqrt[3]{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}}\geq 2.\sqrt{\frac{3}{\sqrt[3]{(ca+2bc)(ab+2ac)(bc+2ab)}}}$

Mặt khác: $(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)=9$

Do: $a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$ $\rightarrow ab+bc+ca\leq 3$

$\Rightarrow P\geq 2.\sqrt{\frac{3}{(\frac{3(ab+bc+ca)}{3})}}=2.\sqrt{\frac{3}{(ab+bc+ca)}}\geq 2$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

$\left\{\begin{matrix}

 &x^3-y^3+2x^2+y^2+3=0  & \\ 

 &x^2+2y^2+4x-4y+1=0  & 

\end{matrix}\right.$

 

Hpt: $\left\{\begin{matrix} & x^3-y^3+2x^2+y^2+3=0 & \\ & x^2+2y^2+4x-4y+1=0 & \end{matrix}\right.$

Cộng 2 vế của 2pt ta đc: $(x-y+2)(x^2+y^2+x-y+xy+2)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y-2 & & \\ (x-\frac{y}{2}+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}(y-1)^2+1=0 & & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow x=y-2...$

Giải phương trình:
 a) $9x^{2}+3\sqrt{9-x}(2x-1)-10x+11=0$

 b) $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3})(1+\sqrt{x^{2}+2x-15})=8$

a) ĐKXĐ: $x\leq 9$

Do $9x^2-10x+11> 0$ $\rightarrow 2x-1< 0\Leftrightarrow x< \frac{1}{2}$

PT $\Leftrightarrow (-9x^2+11x-5)+3(2x-1)(\sqrt{9-x}-(2-3x))=0$

$\Leftrightarrow (-9x^2+11x+5)(\frac{3(2x-1)}{\sqrt{9-x}+2-3x}+1)=0$

TH1: $-9x^2+11x+5=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{11+\sqrt{301}}{18} & & \\ x=\frac{11-\sqrt{301}}{18} & & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow x=\frac{11-\sqrt{301}}{18}(TM)$

TH2: $\sqrt{9-x}=1-3x...\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{313}}{18}(TM)$

Vậy....

Câu 1: Giải phương trình $\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=\frac{3}{4}$

Câu 2: Tìm GTNN của $P=x^{2}-x\sqrt{y}+x+y-\sqrt{y}+1$

Câu 3: Giải phương trình $10\sqrt{x^{3}+1}=3(x^{2}+2)$

Câu 3: ĐKXĐ: $x\geq -1$

$10\sqrt{x^3+1}=3(x^2+2)\Leftrightarrow 10\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}=3(x^2+2)$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1} =a& \\ \sqrt{x^2-x+1}=b & \end{matrix}\right.$ (a,b>0)

$\rightarrow a^2+b^2=x^2+2$

=> pt $\Leftrightarrow 10ab=3(a^2+b^2)$

$\Leftrightarrow (3a-b)(a-3b)=0$

..............

Câu 3: 

Cô-si ngược dấu: 

$(a+1)-\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{(a+1)b^2}{b^2+1}\leq \frac{(a+1)b}{2}$

$\rightarrow \frac{a+1}{b^2+1}\geq (a+1)-\frac{ab+b}{2}$

$\Rightarrow A\geq (a+b+c+3)-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}$

Mà: $ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$

$\Rightarrow A\geq (3+3)-\frac{3+3}{2}$

$\rightarrow A\geq 3$

Dấu"=" xảy ra <=> a=b=c=1

Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD. C/m $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}$

P/s : Đề hơi đơn giản nhưng cách làm không quá đơn giản đâu đó nha (phải vẻ thêm đường phụ)

C2: Kẻ $DH$ vuông góc với $AC$ ($H\epsilon AC$)

Dễ dàng suy ra được $\Delta ADH$ vuông cân tại H nên $AD=\sqrt{2}AH$ (định lí Pitago)

$\rightarrow \frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}AH}=\frac{1}{AH}$

Đưa về c/m: $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AH}\Leftrightarrow \frac{AC}{AB}+1=\frac{AC}{AH}$

$\Delta ABC$ có AD là phân giác nên có: $\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$

$\rightarrow \frac{AC}{AB}+1=\frac{CB}{BD} (1)$

Mặt khác: $DH//AB$ nên theo Talet có: $\frac{AC}{AH}=\frac{CB}{BD}(2)$

Từ (1) và (2) $\rightarrow ĐPCM$

Giải pt:

a)$x-2\sqrt{x-1}-(x-1)\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-x}=0$

b)$x+3+\sqrt{1-x^{2}}=3\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$

c)$x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^{2}+8x+7}+1$

a) ĐKXĐ: $x\geq 1$

pt $\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-1)^2-\sqrt{x^2-x}(\sqrt{x-1}-1)=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-1}-1-\sqrt{x^2-x})=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2(TM) & \\ \sqrt{x-1}-1=\sqrt{x^2-x} & \end{bmatrix}$

Ta có: $\sqrt{x^2-x}\geq \sqrt{x-1}\Leftrightarrow (x-1)^2\geq 0$ (luôn đúng) 

$\rightarrow \sqrt{x^2-x}-\sqrt{x-1}\geq 0> -1$ => vô lí 

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=2$

b) ĐKXĐ: $-1\leq x\leq 1$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+X}=a & \\ \sqrt{1-x}=b & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow x+3=a^2+2 \rightarrow pt\Leftrightarrow a^2+2+ab=3a+b$

$\Leftrightarrow (a-1)(a+b-2)=0$

...........

phương trình bậc ba nhưng nghiệm lẻ lắm anh ơi, mời anh thử làm các bước tiếp theo.

$x^3-y^3=(y^2-5x^2)(4x-y)\Leftrightarrow 21x^3-4xy^2-5x^2y=0$

$\Leftrightarrow x(21x^2-4y^2-5xy)=0$

$\Leftrightarrow x(7x-4y)(3x+y)=0$

.............

Cho tam giác ABC có các phân giác trong của các góc nhọn: Góc BAC, góc ACB, góc CBA theo thứ tự cắt các cạnh đối tại các điểm M,P,N. Đặt $a = BC, b = CA , c = AB$

Chứng minh rằng $\frac{S_{\triangle MNP}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Đã giải tại đây: http://diendantoanho...bbcac/?p=401423