b, Gọi giao điểm $XY$ và $BC$ là $I$. Ta sẽ chứng minh $AI$ là đường đối trung trong tam giác $ABC$.Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.
(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$
(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.
Thật vậy, dễ thấy hình thang $FMNE$ cân. Gọi $K$ là giao điểm $XY$ và $EF$ thì theo định lý Talet:
$\frac{IC}{IB}=\frac{KF}{KE}=\frac{IM}{IN}=\frac{sin\widehat{MYI}}{sin\widehat{NYI}}$(do $IM=IN$)$=\frac{sin\widehat{MFC}.FX.XY}{sin\widehat{NEB}.XE.XY}=\frac{sin\widehat{FMC}.MC.XF.BE}{sin\widehat{BNE}.FC.NB.XE}=\frac{MC}{NB}$ (do $MN$ song song với $EF$)
Mặt khác,$ \Delta MEC \sim \Delta NBF$ nên $\frac{NB}{ME}=\frac{NF}{MC}=\frac{BF}{CE}$ $\Rightarrow$ $ME^2=NB.MC$ $\Rightarrow$ $\frac{MC}{NB}=\frac{NB.MC}{NB^2}=\frac{ME^2}{NB^2}=(\frac{CE}{BF})^2=(\frac{AC}{AB})^2$ (2)
Từ (1), (2) $\Rightarrow$ đpcm