MiuraHaruma

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.
(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$
(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

b, Gọi giao điểm $XY$ và $BC$ là $I$. Ta sẽ chứng minh $AI$ là đường đối trung trong tam giác $ABC$.
Thật vậy, dễ thấy hình thang $FMNE$ cân. Gọi $K$ là giao điểm $XY$ và $EF$ thì theo định lý Talet:
$\frac{IC}{IB}=\frac{KF}{KE}=\frac{IM}{IN}=\frac{sin\widehat{MYI}}{sin\widehat{NYI}}$(do $IM=IN$)$=\frac{sin\widehat{MFC}.FX.XY}{sin\widehat{NEB}.XE.XY}=\frac{sin\widehat{FMC}.MC.XF.BE}{sin\widehat{BNE}.FC.NB.XE}=\frac{MC}{NB}$ (do $MN$ song song với $EF$)
Mặt khác,$ \Delta MEC \sim \Delta NBF$ nên $\frac{NB}{ME}=\frac{NF}{MC}=\frac{BF}{CE}$ $\Rightarrow$ $ME^2=NB.MC$ $\Rightarrow$ $\frac{MC}{NB}=\frac{NB.MC}{NB^2}=\frac{ME^2}{NB^2}=(\frac{CE}{BF})^2=(\frac{AC}{AB})^2$ (2)
Từ (1), (2) $\Rightarrow$ đpcm

 Chỗ này bạn sử dụng bổ đề LTE không đúng, nên là $v_5(3^n+4^n)=v_5(25)+v_5(n)=2+v_5(n)$. Khi đó hoặc $z=n<v_5(n)+2$ hoặc $z=v_5(n)+2<n$ hoặc $v_5(n)+2=n$

Cảm ơn Toàn, mình cũng ms phât hiện lỗi sai này lúc sáng

 Bổ đề LTE hoàn toàn có thể áp dụng để chứng minh $v_2(3^n+5^n)=3$ với $n$ lẻ.

Lúc bọn mình học thầy không nhắc đến $v_2(x^n+y^n)$ mà chỉ có $v_2(x^n-y^n)$ nên mình nghĩ là trường hợp đó không sử dụng LTE được

Tìm tất cả $n$ nguyên dương sao cho $60^n \vdots 3^n+4^n+5^n$

Do $60^n=3^n.2^{2n}.5^n$ nên $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y.5^z$ với $x, y, z$ nguyên dương và $x, z \leq n, y \leq 2n$

$1,$ Nếu $x, z \geq 1$ thì $4^n+5^n \vdots 3 (1)$, đồng thời $4^n+3^n \vdots 5 (2)$.
Khi đó, từ $(1)$ thì $n$ lẻ, tức là $4^n+3^n \equiv (-1)+3.(-1)^k \equiv -4,2 (mod$$5)$, mâu thuẫn.
Vậy $x$ hoặc $z$ bằng $0$.

$2,$ Nếu $x=0$ thì $3^n+4^n+5^n=2^y.5^z$
Từ đó, ta có: $3^n+4^n \vdots 5$ tức $n=4k+2$ $\Rightarrow$ $3^n+5^n \equiv 2 (mod 4)$. Vậy $y=1$. Thay vào thì: $3^n+4^n+5^n=2.5^z$ với $n=4k+2$:
Ta có: $v_5(3^n+4^n)=v_5(25)+v_5(2k+1)$. Từ đó $v_5(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n, 2+v_5(2k+1)} \Leftrightarrow z=n$ hoặc$ z=2+v_5(2k+1)$
- Nếu $z=n$ thì $3^n+4^n=5^n$. Phương trình chỉ có nghiệm với $n=2$ theo định lý Fermat lớn.
- Nếu $z=v_5(2k+1)+2$ thì $n=2.5^z.b$ với $(b,5)=1, b>0$. Nhân 2 vế phương trình với $2b$ thì $b(3^n+4^n+5^n)=25n$. Dễ thấy, VT $>$ VP khi $n \geq 3$. Tức pt vô nghiệm

$3,$ Nếu $z=0$ thì $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y$
- Dễ dàng suy ra được $n$ lẻ
- Ta chứng minh $3^n+5^n$ không chia hết cho $16$ với n lẻ. Thật vậy:
$3^{4k+r}+5^{4k+r} \equiv 81^k.3^r+625^k.5^r \equiv 3^r+5^r \equiv 8$ (mod 16). Mà $3^n+5^n \vdots 8$ nên $v_2(3^n+5^n)=3 \Rightarrow v_2(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n; 3}$
+ Nếu $n \leq 3$ thì $n=1, n=3$ thoả mãn
+ Nếu $n >3$ thì $y=3$. Thay vào, $3^n+4^n+5^n=8.3^x$
Tương tự trên, ta tính được $x=v_3(n)+2$ hoặc $x=n$
a, Nếu $x=n$ tức $n \leq v_3(n)+2$ tức $n \leq 3$
b, Nếu $x=v_3(n)+2$ thì $c(3^n+4^n+5^n)=72n$. Phương trình này có VT $>$ VP nếu $n>3$.

Kết luận: $n=1$ hoặc $n=3$ hoặc $n=2$

Cho $a, b, c > 0$ tm $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+ \frac{c+3}{(c+1)^2}\geq 3$

Cho $a_1=1, a_2=1, a_3=2, a_{n+3}=\frac{a_{n+1}.a_{n+2}+k}{a_n}$ Tìm số nguyên $k$ để $a_n$ nguyên với mọi $n$ nguyên dương.

Họ tên: Phạm Duy Anh
Nick trong diễn đàn: MiuraHaruma
Năm sinh: 1999
Hòm thư: [email protected]
Dự thi cấp: THPT

Bài 1 ( 5 điểm).Cho dãy số $(x_n)$ xác định
$$x_1=1;x_{n+1}=3+\frac{5}{x_n}$$ với $n=1;2...$
Tìm số thực dương $a$ sao cho dãy số $(y_n)$ xác định bởi
$$y_n=\frac{a^n}{x_1.x_2...x_n}$$ với $n=1;2...$
có giới hạn hữu hạn và $\mathbb{lim} y_n\neq 0$

Ta nhân cả 2 vế dãy ban đầu với $x_1.x_2...x_n$ thì $x_1.x_2...x_{n+1}=3.x_1.x_2...x_n+5.x_1.x_2...x_{n-1}$.

Đặt $z_n=x_1.x_2...x_n$ thì $z_{n+1}=3z_n+5z_{n-1}$.
Dãy này có CTTQ là $z_n=\frac{\sqrt{29}+1}{2\sqrt{29}}.(\frac{3-\sqrt{29}}{2})^n+\frac{\sqrt{29}-1}{2\sqrt{29}}.(\frac{3+\sqrt{29}}{2})^n$

Khi đó $y_n=\frac{a^n}{z_n}=\frac{1}{(\frac{3-\sqrt{29}}{2a})^n.q+(\frac{3+\sqrt{29}}{2a})^n.p}$.

Vậy, để dãy có giới hạn hữu hạn và khác 0 thì $a=\frac{3+\sqrt{29}}{2}$

Cho $(a_n)$ thoả mãn $a_1=1$, $a_2=1$, $a_3=2$, $a_{n+3}=\frac{a_{n+2}.a_{n+1}+2}{a_n}$. Cmr $a_n$ nguyên với mọi $n$ nguyên

(Chọn Đội tuyển Quảng Bình 2014) Cho $x_1, x_2, ..., x_n \geq 0$. Cmr:
$\frac{(x_1+2x_2+...+nx_n)(x_1+\frac{x_2}{2}+...+\frac{x_n}{n})}{(x_1+x_2+...+x_n)^2} \leq \frac{(n+1)^2}{4n}$

(Chọn Đội tuyển Đại học Vinh 2014) Cho $a, b, c$ thuộc $ [0;1]$. Tìm max:
$A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Cho $a_1, a_2, ...,a_n$ với $n\geq 3$ là các số nguyên dương phân biệt. Cmr, tồn tại các chỉ số $i, j$ sao cho $a_i+a_j$ không là ước của bất kỳ số nào trong các số hạng $3a_1, 3a_2, ...,3a_n$

$\boxed{\text{Problem}}$ Xét số nguyên dương $k\ge 2$.$\text{CMR}$

$v_2\left ( \begin{pmatrix} 2^{k+1}\\2^k \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2^k\\2^{k-1} \end{pmatrix}\right )=3k$

Bởi vì tớ on bằng điện thoại, mà bài này lại khá nhiều công thức và tính toán, cho nên rất khó khăn và bất tiện trong việc viết ra đây. Bây giờ tớ gửi ảnh, có chỗ nào không đọc được thì cậu nói vs tớ và thông cảm giùm nhá

Số nguyên dương $n$ được gọi là "đẹp" nếu $n$ có thể viết thành tích của 1 số chẵn (không cần phân biệt) các số nguyên tố. $a$ và $b$ là 2 số nguyên dương. $P(x)=(x+a)(x+b)$
a, Tìm $a$, $b$ phân biệt để $P(1), P(2),..., P(50)$ "đẹp"
b, Cmr nếu $P(n)$ "đẹp" với mọi n nguyên dương thì $a=b$

Cho dãy u_n với u₁=u₂=1 ; u_n+2 = 7u_n+1 - u_n - 2


Chứng minh rằng các số hạng của dãy đều là số chính phương.

Dễ thấy $$ \frac{u_{n+2}+u_{n}+2}{u_{n+1}}=\frac{u_{n+1}+u_{n-1}+2}{u_{n}}=7$$
$$\Leftrightarrow (u_{n})^2+2u_{n}-u_{n+1}.u_{n-1}=(u_{n+1})^2+2u_{n+1}-u_{n}.u_{n+2}=...=(u_{2})^2+2.u_{2}-u_{3}.u_{1}=-1$$
Vậy, ta có $$u_{n+2}.u_{n}=(u_{n}+1)^2$$.
Do số hạng dãy trên đều là số nguyên dương nên sử dụng quy nạp, ta sẽ có điều phải chứng minh.

Cho $u_{n}$: $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1; u_{2}=p \\ u_{n+2}=2pu_{n+1}-u_{n} \end{matrix}\right.$
 
CM: $\frac{u_{p+1}+1}{p+1}$ là số chính phương với p lẻ.

Ta xét phương trình Pell loại 1 sau: $x^2-(p^2-1)y^2=1$
Bộ nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $(p,1)$ cho nên, phương trình này có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1; x_{2}=p, x_{n+2}=2px_{n+1}-x_{n} \\ y_{1}=0; y_{2}=1, y_{n+2}=2py_{n+1}-y_{n} \end{matrix}\right.$
Vậy dãy $u_{n}$ chính là dãy $x_{n}$.
Khi đó $x^2-(p^2-1)y^2=1 \Leftrightarrow \frac{x_{p+1}+1}{p+1}.\frac{x_{p+1}-1}{p-1}=(y_{p+1})^2$
Từ đây ta quy nạp $\frac{x_{p+1}+1}{p+1}$ và $\frac{x_{p+1}-1}{p-1}$ là số nguyên sẽ suy ra điều phải chứng minh.