ThinhSenpai

hình mang tính chất minh họa

198. giải các phương trình nghiệm nguyên:

a)     x² – 12y² = 1.

b)    3x² + 1 = 19y².

c)     5x² – 11y² = 1.

d)    7x² – 3y² = 1.

e)     13x² – y² = 3.

f)      x² = 8y + 1.

Vì $r$ là nên số nguyên tố nên $r$ là số lẻ ($r=2$ thì pt vô nghiệm)
$\Rightarrow p=2$.Nếu $q>3$ thì $VT\vdots 3\Rightarrow q=3$

chứng minh đi 

Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2y+3x-2y-5=0$

(Được đăng bởi yellow)

Lời giải. (Phạm Quang Toàn)Ta có $y= \frac{x^3+3x-5}{x^2+2}= x+ \frac{x-5}{x^2+2}$.
Để $x,y \in \mathbb{Z}$ thì $x^2+2 \mid x-5$, suy ra $x^2+2 \mid (x-5)(x+5)$, nên $x^2+2 \mid 27$ hay $x^2+2 \in \{ \pm 1; \pm 3; \pm 9; \pm 27 \}$.
Lại có $x^2+2 \ge 2 \; \forall x \in \mathbb{Z}$ nên chỉ có thể $x^2+2 \in \{ 3,9,27 \}$.
Ta tìm được $x= \pm 1, \pm 5$. Thử lại thì thấy chỉ có $x=-1,x=5$ thỏa mãn. Đến đây dễ tìm $y$.
Phương trình có nghiệm $$\boxed{(x;y) \in \{ (-1;-3),(5;5_ \}}$$
 

Em chưa hiểu đoạn x bình  cộng 2 là ước x-5 sao lại là ước (x-5)(x+5) rồi lại là ước của 27 giải thích dùm em với

Trường mình thi chọn hsg đợt 1, bộ đề như sau:

 

193. Giải phương trình:

                                    $x^{2}+3x+1=\left ( x+3 \right )\sqrt{x^{2}+1}$

 

 

$x^{2}+3x+1=(x+3)\sqrt{x^{2}+1}$

$\Leftrightarrow x^{2}+1+3x=x\sqrt{x^{2}+1}+3\sqrt{x^{2}+1}$

$\Leftrightarrow x^{2}+1-x\sqrt{x^{2}+1}=3\sqrt{x^{2}+1}-3x$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}(\sqrt{x^{2}+1}-x)=3(\sqrt{x^{2}+1}-x)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=3$

$\Leftrightarrow x^{2}+1=9$

$x^{2}=8\Rightarrow x=\pm \sqrt{8}$

Kết luận tập nghiệm của phương trình là $S=\begin{Bmatrix}\sqrt{8};-\sqrt{8}\end{Bmatrix}$