Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{cos x + cos y + cos z}{cos (x+y+z)} = \frac{sin x + sin y + sin z}{sin (x+y+z)} = p$ . Tính giá trị của: $cos (x+y) + cos(y+z)+cos(z+x)$.
- quocbao2001 và Thuhien2k thích
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 30-11-2016 - 22:19
Cho $x,y,z\in \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{cos x + cos y + cos z}{cos (x+y+z)} = \frac{sin x + sin y + sin z}{sin (x+y+z)} = p$ . Tính giá trị của: $cos (x+y) + cos(y+z)+cos(z+x)$.
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 06-06-2016 - 15:56
2)Với $x,y$ là những số thực thỏa mãn các điều kiện $0<x\leq y\leq 2,2x+y\geq 2xy$ , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=x^2\left ( x^2+1 \right )+y^2\left ( y^2+1 \right )$$
Ai giải bài này bằng phương pháp nhóm Abel giúp em được không ạ?
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 03-06-2016 - 12:53
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 31-05-2016 - 22:59
Cho 3 số thực $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{ac(b-1)}{b(a+c)}=\frac{4}{3}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$A=\frac{2(a+b)^2}{2a+3b}+\frac{(b+2c)^2}{2b+c}+\frac{(2c+a)^2}{c+2a}$
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 31-05-2016 - 19:11
Bài 2:
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y,z)$ để $3^{x}+5^{y}=z^3$.
- Trường hợp 1: $x$ là số chẵn.
Vì $3^x$ và $5^y$ là số lẻ suy ra $z^3$ chẵn suy ra $z$ chẵn. Do đó $8\mid z^3$.
Đặt $x=2k\Rightarrow 3^x=9^k\equiv 1$ (mod 8) $\Rightarrow 5^y\equiv 7$ (mod 8)
+ Nếu y lẻ, đặt $y=2m+1\Rightarrow 5^y=5.25^m\equiv 5$ (mod 8)
+ Nếu y chẵn, đặt $y=2m\Rightarrow 5^y=25^m\equiv 1$ (mod 8)
Do đó $5^y$ không thể chia 8 dư 7. Vậy $x$ chẵn loại.
- Trường hợp 2: $x$ là số lẻ.
+ Nếu $x=3k\Rightarrow k$ lẻ $\Rightarrow 3^x+5^y=27^k+5^y=(28-1)^k+5^y=BS(7)+(-1)^k+5^y=BS(7)+5^y-1$
Ta luôn có $z^3$ chia 7 chỉ có thể có số dư là $0,1,6$ $\Rightarrow 5^y\equiv 0,1,2$ (mod 7)
$z^3$ chia hết cho 8 mà k lẻ suy ra $27^k\equiv 3$ (mod 8) $\Rightarrow 5^y\equiv 5$ (mod 8) $\Rightarrow y$ lẻ.
Vì $y$ lẻ nên $5^y\equiv 3,5,6$ (mod 7). Do đó $x=3k$ loại
*Còn trường hợp $x=3k+1$ và $x=3k+2$ nữa mình chưa làm được, nhờ mọi người góp ý nhé.
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 31-05-2016 - 12:46
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{(a+b)^3}{a+1}}+\sqrt{\frac{(b+c)^3}{b+2}}+\sqrt{\frac{(c+a)^3}{c+3}}\geq 12$
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 30-05-2016 - 20:34
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 03-04-2016 - 22:47
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãm $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{2a^2+b^2+3}+\frac{b}{2b^2+c^2+3}+\frac{c}{2c^2+a^2+3}\leq \frac{1}{2}$
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 03-04-2016 - 19:13
Giải giúp em bài này với nha:
Cho $a^2+b^2+c^2=1$
C/m:
$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ca+1}+\frac{c}{ab+1}\geq 1$
Sai đề rồi bạn !
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 23-03-2016 - 23:18
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 17-03-2016 - 21:46
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 12-03-2016 - 19:58
Cho $x,y\neq 0$ thỏa mãn $x^2+\frac{8}{x^2}+\frac{y^2}{8}=8$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=xy$
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 29-01-2016 - 21:19
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn:
$x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 28-01-2016 - 11:36
Bài này không cần dùng như bạn đâu
Bạn thử đạo hàm đi. BĐT cuối bị sai rồi
Cho $u=\frac{1}{5} $ là $< 3\frac{\sqrt{17}}{2}$ liền
Bài này có 1 cách giải như sau
Ta chứng minh
$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2} } \geq \frac{16\sqrt{17}}{17} - \frac{15\sqrt{17}}{17}x$
$<=> (x -\frac{1}{2})^2(208x^2 -272x -68) \leq 0$ (đúng do $208x^2-272x-68 \leq 0 $ với mọi $0 <x < \frac{3}{2}$ )
Cộng lại ta có điều phải chứng minh
Tại sao đầu tiên lại chứng minh: $\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2} } \geq \frac{16\sqrt{17}}{17} - \frac{15\sqrt{17}}{17}x$ bạn?
Từ đâu suy ra BĐT này?
Gửi bởi Tran Thanh Truong trong 27-01-2016 - 14:30
Bài 5: Chứng minh: $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
$(1+16)\left ( x^2+\frac{1}{x^{2}} \right )\geq \left ( x+\frac{4}{x} \right )^2\Rightarrow \sqrt{17\left ( x^2+\frac{1}{x^{2}} \right )}\geq x+\frac{4}{x}$.
Chứng minh tương tự: $\sqrt{17\left ( y^2+\frac{1}{y^{2}} \right )}\geq y+\frac{4}{y}$ và $\sqrt{17\left ( z^2+\frac{1}{z^{2}} \right )}\geq z+\frac{4}{z}$
Từ đó suy ra: $\sqrt{17\left ( x^2+\frac{1}{x^{2}} \right )}+\sqrt{17\left ( y^2+\frac{1}{y^{2}} \right )}+\sqrt{17\left ( z^2+\frac{1}{z^{2}} \right )}\geq x+y+z+\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}$
Ta có: $x+y+z+\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}=\left ( \frac{4}{x}+16x \right )+\left ( \frac{4}{y}+16y \right )+\left ( \frac{4}{z}+16z \right )-15(x+y+z)\geq 16+16+16-15.\frac{3}{2}=\frac{51}{2}$
$\Rightarrow \sqrt{17\left ( x^2+\frac{1}{x^{2}} \right )}+\sqrt{17\left ( y^2+\frac{1}{y^{2}} \right )}+\sqrt{17\left ( z^2+\frac{1}{z^{2}} \right )}\geq \frac{51}{2}\Rightarrow \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}} \geq\frac{3\sqrt{17}}{2}$
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học