Namvip

Bài 73 : Lời giải khác 

Ta có 

$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{\left ( \sum \sqrt{a^{2}+b^{2}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}$

Lại có 

$(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\sum 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+c^{2})}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2\sum (a^{2}+bc)=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}$

mà 

$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2}\geq 2(a+b+c)\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

=>$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{2(a+b+c)\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{2(a+b+c)}=\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

ĐK: $-1 \leq x \leq 4$

 

Đặt $\sqrt{4-x}=a; \ \sqrt{x+1}=b$

 

Thay vào ta có:

 

$\dfrac{33}{5}a^2-\dfrac{2}{5}b^2+ab-11a+2b=0$

 

$\iff (11a-2b)(3a+b-5)=0$

 

Đến đây thay $a,b$ và thực hiện bình phương 2 lần

Bài này biết hướng làm rùi chỉ khó đoạn tách 

Có cách nào để tìm ra nhân tử mà ko cần dùng CASIO ko hả cậu hay là tự phải mò nhỉ 

Bài 71 :

Ta có 

$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}.1.1}\leq \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{9}+\frac{2}{3}$

$8\sqrt[3]{abc.1.1}\leq 8(\frac{abc+2}{3})=\frac{8abc}{3}+\frac{16}{3}$

Lại có 

BĐT Phụ sau $a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc\leq (a+b+c)^{3}$

=>$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+24abc}{9}\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{9}=3$

=>$\sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}+8\sqrt[3]{abc}\leq 9$

Ta có 

Giả sử $a\geq b\geq c$

=>$\left\{\begin{matrix} a^{2}\geq b^{2}\geq c^{2} \\ \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b} \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có 

$P=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})\geq \frac{1}{3}.3.\frac{9}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}$

Lại có 

$(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9 =>a+b+c\leq 3$

$=>P\geq \frac{9}{2(a+b+c)}\geq \frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}$

Bài 70  Bài giải :

$a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}=>ab+bc+ca=1$

BĐT <=> $(1-a^{2})(1-b^{2})(1-c^{2})\leq abc\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}$

$(1-a^{2})(1-b^{2})\leq (1-ab)^{2}<=>(a-b)^{2}\geq 0$

CMTT 

=>$\prod (1-a^{2})\leq \prod (1-ab)$

$\prod (1-ab)=\prod (bc+ca)=abc\prod(a+b)$

Lại có 

$\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}=\sqrt{\prod (a+b)(a+c)}=\prod (a+b)$

$=>(1-a^{2})(1-b^{2})(1-c^{2})\leq abc\sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+c^{2})}$

$=>(x^{2}-1)(y^{2}-1)(z^{2}-1)\leq \sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)(z^{2}+1)}$

Vậy bđt đã cho được chứng minh 

Ta có 

$\sum a\sqrt{b^{3}+1}=\sum a\sqrt{(b+1)(b^{2}-b+1)}\leq \sum a(\frac{b^{2}+2}{2})$

$=>P\leq \frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+a+b+c$

Ta sẽ chứng minh bổ đề sau 

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \leq ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc$

Giả sử $c \leq b \leq a$ 

$a(b-a)(b-c)\leq 0=> ab^{2} + ca^{2}  \leq abc + ba^{2}$

$=>ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc \leq ba^{2} + 2abc + bc^{2} =b(c+a)^{2} $

$b(c+a)^{2}=4b.\frac{c+a}{2}.\frac{c+a}{2}\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

$=>ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$

$=>P\leq \frac{ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}}{2}+a+b+c=\frac{4}{54}(a+b+c)^{3}+a+b+c=5$

1)Ta có 

$\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^{2})}{(a+b+c)^{2}}=1$

Ta có 

$(1)<=>(y\sqrt{y-1}-(x+\sqrt[3]{x}))^{2}<=>y\sqrt{y-1}=x+\sqrt[3]{x}<=>\sqrt{y-1}=\sqrt[3]{x}=>(y-1)^{3}=x^{2}$

Thay vào ta có 

$x^{4}+\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}=x^{3}+1$

$<=>x^{4}-x^{2}=x^{3}-x^{2}+1-\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}$

Đặt $\sqrt{x^{3}-x^{2}+1}=b;x^{2}=a$

$a^{2}-a=b^{2}-b <=>\left\{\begin{matrix} a=b \\ a+b=1 \end{matrix}\right.$

Ta có 

$\sqrt{3a^{2}-1}+\sqrt{a^{2}-a}-a\sqrt{a^{2}+1}\leq \sqrt{(a^{2}+2)(5a^{2}-a)}$

mà lại có 

$\sqrt{(2a^{2}+4)(5a^{2}-a)}\leq \frac{2a^{2}+4+5a^{2}-a}{2}=\frac{7a^{2}-a+4}{2}$

=>$\sqrt{(a^{2}+2)(5a^{2}-a)}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(7a^{2}-a+4)$

=>$\sqrt{3a^{2}-1}+\sqrt{a^{2}-a}-a\sqrt{a^{2}+1}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(7a^{2}-a+4)$

CM $a^{5}+b^{5}+c^{5}$ chia hết cho 5 ta có thể dùng cách sau 

Theo định lý Ferma ta có 

$a^{5}\equiv a$(mod 5)

$b^{5}\equiv b$(mod 5)

$c^{5}\equiv c$(mod 5)

mà a + b + c chia hết cho 5 => $a^{5}+b^{5}+c^{5}$ chia hết cho 5 

Bài 58 

Ta có 

$\sqrt{(4^{2}+1^{2})(a^{2}+\frac{1}{a+b})}\geq 4a+\frac{1}{\sqrt{a+b}}$

=>$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(4a+\frac{1}{\sqrt{a+b}})$

CMTT 

=>$P\geq \frac{1}{\sqrt{17}} \left ( 4\sum a+\sum \frac{1}{\sqrt{a+b}} \right )\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(24+\frac{9}{\sum \sqrt{a+b}})\geq \frac{1}{\sqrt{17}}\left ( 24+\frac{9}{\sqrt{3(a+b+b+c+c+a)}} \right )=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Đặt $a+b=x;b+c=y;c+a=z=>x+y+z=2$

$P=(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}=x^{4}+y^{4}+z^{4}$

Ta có 

Theo bđt Holder $(x^{4}+y^{4}+z^{4})(1+1+1)(1+1+1)(1+1+1)\geq (x+y+z)^{4}=16$

$=>x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq \frac{16}{27}$

Ta có 

$\sum \frac{bc}{a(1+bc)}=\sum \frac{bc}{2a+b+c}$

$\frac{bc}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c} \right )$

CMTT 

=> $\sum \frac{bc}{2a+b+c}\leq \frac{1}{4}\sum \left ( \frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b} \right )=\frac{1}{4}\sum c=\frac{a+b+c}{4}=\frac{abc}{4}$

Đặt $a=\frac{yz}{x^{2}};b=\frac{xz}{y^{2}};c=\frac{xy}{z^{2}}$

BĐT $<=>\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}+\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+yz)}\geq 1$

Ta có 

$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})\geq (x^{2}+yz)^{2}$

CMTT 

$=>\prod (x^{2}+y^{2})\geq \prod (x^{2}+yz)$

=>$\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+yz)}\geq \frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+y^{2})}$

Lại có 

$\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}\geq \sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}=1-\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+y^{2})}$

=>$\sum \frac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}+\frac{2(xyz)^{2}}{\prod (x^{2}+yz)}\geq 1$

Theo cân bằng hệ số ta dự đoán đc $a = c = \frac{24}{17} ; b = \frac{3}{17}$

Theo bđt Holder ta có 

$\left ( a^{3} +64b^{3} + c^{3}\right )(8+1+8)(8+1+8)\geq (4a+4b+4c)^{3}=1728$

$=>a^{3}+64b^{3}+c^{3}\geq \frac{1728}{17^{2}}=\frac{1728}{289}$