gemyncanary

Cho:$\sqrt{(a-3)^2+(b+4)^2}+\sqrt{(a-2)^2+(b+3)^2}=10$

Tìm min,max: $\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}$

Cho a, b, c >0

Chứng minh: $\frac{x(x+y+z)}{(x+y)(x+z)}+\frac{y(x+y+z)}{(y+x)(y+z)}\geq 1+\frac{\sqrt{xy}}{(z+x)(z+y)}$

Cho 3 số a,b,c> 0 thỏa mãn: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4$

Tìm min M=$\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}$

$\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{(a+b)+(c+a)}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a})\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

TT$\Rightarrow VT\leq \frac{1}{16}.4.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1$

Help me bài này với !!! Tưởng tách ra chút thôi mà nó khó thật , mấy bạn giúp mình nghe, THEO KIỂU CÔ-SI PHỤ DẠNG PHÂN SỐ ẤY !!!

P=$\frac{2}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{2}{xy+yz+zx}\geq \frac{2.4}{(x+y+z)^{2}}+\frac{6}{(x+y+z)^{2}}\geq 14$

Bài 1: Tìm GTLN của A=$\frac{\sqrt{a-2016}}{a+1}+\frac{\sqrt{a-2017}}{a-1}$

Bài 2: a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1

Tìm GTNN của B=$\frac{1}{4a^2-bc+2}+\frac{1}{4b^2-ca+2}+\frac{1}{4c^2-ca+2}$

Bài 3: Cho các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$

Tìm GTNN của C=$\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}$

Bài 4: $1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$

Bài 5: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1008

Tìm GTLN của A=$\sqrt{2016a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2016b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2016c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}$

Mọi người bài này trâu lắm nè, làm đủ cách cũng ko ra thôi đành nhờ m.n giúp. Help me!!!     

Áp dụng B.C.S, ta có

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\leq 3(a^{4}+b^{4}+c^{4}=3\sqrt{(a.a^{3}+b.b^{3}+c.c^{3})^{2}}\leq 3\sqrt{(a^{6}+b^{6}+c^{6})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq 3\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$ư

$\Rightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}}\leq 3\sqrt{3}$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$

Bài 1:  Cho  $a\geq 1, b\geq 2, c\geq 3, a^{2}+b^{2}+c^{2}=21$

                               Tìm GTNN của a+b+c

Bài 2:  Tìm m, n thỏa mãn $1\leq \frac{mx+n}{x^{2}+x+1}\leq 3$

1/ $\left\{\begin{matrix} x+a+b+c=7 & & & & \\ x^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=13 & & & & \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN, GTLN của x?

 

Chuyển x sang 1 vế rồi dung B,C,S $\Rightarrow 1\leq x\leq \frac{5}{2}$

Giải phương trình:

    x²  - 3x +1 = $\frac{-\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

$3x^{2}-9x+6+\sqrt{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}-3=0 \Leftrightarrow 3(x-1)(x-2)+3\frac{3(x^{2}-1)(x^{2}+2)}{\sqrt{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}+3}\Leftrightarrow ...\Rightarrow x=1$

Đề: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO ( H khác A, O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ ( D khác B, C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC.

 c) Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh: $\measuredangle ABF$ có số đo không đổi thì D thay đổi trên cung BC.

AC là tiếp tuyến của đường tròn (I; C; D) $\Rightarrow AC\perp FC$ (1)

Lại có $AC\perp CB$ (2)

$(1)(2)\Rightarrow B,C,F$ thẳng hàng

$\Rightarrow \measuredangle ABF= \measuredangle CBF =\frac{ sd AC}{2}$

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x +y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = $\frac{x^{3}}{x^{2} +yz} + \frac{y^{3}}{y^{2} +zx} + \frac{z^{3}}{z^{2} +xy}$

$\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}=x-\frac{xyz}{x^{2}+yz}\geq x-\frac{\sqrt{yz}}{2}$

Tương tự ...

$VT\geq x+y+z-\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}\geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

a) AB cắt DE tại S. CHỨNG MINH MD.SE=ME.DS
 

a) Gọi giao điểm OM với BC là H

HS, HD lần lượt là phân giác trong, ngoài của tam giác HED

$\Rightarrow \frac{SD}{SE}=\frac{MD}{ME}$

Cho x,y tm $x^{2}+y^{2}=1.Tìm min,max B=\frac{2(x^{2}+6xy)}{1+2xy+2y^{2}}$

Với $y=0\Rightarrow x=1\Rightarrow B=2$

Với$B=\frac{2(x^{2}+6xy)}{x^{2}+2xy+3y^{2}}$=$\frac{2((\frac{x}{y})^{2}+6\frac{x}{y})}{(\frac{x}{y})^{2}+2(\frac{x}{y})+3}$

Đặt $a=\frac{x}{y}\Rightarrow B=\frac{2(a^{2}+6a)}{a^{2}+2a+3}\Rightarrow a^{2}B+2aB+3B-2a^{2}-12a=0\Rightarrow a^{2}(B-2)+2a(B-6)+3B=0\Rightarrow ....$

 

            ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN NĂM HỌC 2008 - 2009 :

                                                       

Bài 5 : (2đ) 

  1. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn $a+b=1$. Chứng minh rằng : $\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}\geq 14$

  

$VT= \frac{4}{2ab}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}-\frac{1}{a^{2}+b^{2}} \geq 4.\frac{4}{(a+b)^{2}}-\frac{1}{\frac{1}{2}}=16-2=14$

Giải bài toán cổ : 

                           Trăm trâu - trăm cỏ 

                           Trâu đứng ăn năm

                           Trâu nằm ăn ba

                           Lụ khụ trâu già 

                           Ba con một bó

Tính số trâu mỗi loại.

Gọi số trâu đứng là x;trâu nằm là y; trâu già là z 
Theo đề bài ta có hệ 
x+y+z=100 (1) 
5x+3y+$\frac{1}{3}$z=100 (2) 
x,y,z thuộc N,x,y,z \geq1 
Thế z ở (1) vào (2) ta có pt 
7x+4y=100 
Vì 4 và 100 đều chi hết cho 4 nên để hệ có nghiệm nguyên thì x chia hết cho 4 
Đặt x=4m ta có y = 25-7m 
Vì x,y \geq 1 nên 1 \geq m \leq 3 
Với m=1 => x=4;y=18;z=78 
Với m= 2 ta có x=8;y=11;z=81 
Với m=3 ta có x=12 ; y=4 ; z=84