\
Câu 2: Tìm số dương $k$ lớn nhất thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-k)\geq k$, với $a,b,c$ là các số thực không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $a+b+c=ab+bc+ca$.
Thay $c=0, a=b=2 => k \leq 1 $
Ta chứng minh $k =1 $ thỏa
Khi $k=1$, ta cần chứng minh
$(a+b+c)(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} -1 ) \geq 1 $
Quy đồng và chuyển pqr, ta cần chứng minh
$p . ( \frac{p^2+p}{pq-r} -1) \geq 1 $
Mà do $r \geq 0 $
Nên ta chỉ cần chứng minh
$p(\frac{p^2+p}{p^2} -1 ) \geq 1$
Mà thật ra đây chi là đẳng thức
Do đó ta có đpcm
- CaptainCuong và Element hero Neos thích