Đến nội dung

supermember

supermember

Đăng ký: 01-09-2006
Offline Đăng nhập: 19-03-2024 - 20:53
****-

Trong chủ đề: Bài 2 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổ...

13-02-2024 - 22:53

Đáp án chính thức:

Xét $ A = \frac{ 5ab(a^2 +b^2 - 2)}{ 5ab-1} = \frac{ a^2 (5ab-1) +b^2 (5ab-1) + a^2 +b^2 - 2ab}{ 5ab-1} =  a^2 + b^2 + \frac{(a-b)^2}{ 5ab-1}$

Do đó : $  A = \frac{ 5ab(a^2 +b^2 - 2)}{ 5ab-1}$ là số nguyên dương khi và chỉ khi $\frac{(a-b)^2}{ 5ab-1}$ là số nguyên không âm $(*)$

 

Xét phương trình : $ \frac{(a-b)^2}{ 5ab-1} =k$ với $k$ là  $1$ hằng  số nguyên không âm $(1)$

 

Do vai trò $a \ ; \ b$ là như nhau nên từ nay, không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét đến trường hợp $ a \geq b$

 

$ (1)$ tương đương với: $ a^2 - (5bk + 2b) a + b^2 +k =0$ $(2)$

 

Coi $(2)$ là phương trình bậc $2$ ẩn $a$, $b$ là tham số.

 

Theo giải thiết bài toán, thì do tồn tại cặp số $(a; b)$ thỏa $(2)$ nên theo nguyên lý cực hạn, ta có thể chọn ra bộ số $(a_0 ; b_0)$  thỏa $(2)$ sao cho tổng $ a_0 + b_0 $ đạt giá trị nhỏ nhất có thể. $(3)$

 

Theo định lý Viette thì ngoài nghiệm $a_0$, $(2)$ sẽ còn có nghiệm $a_1$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a_1 = 5b_0 k +2b_0 -a_0 \\ a_1 = \frac{b_0^{2}+k}{a_0} \end{matrix}\right.$

 

Mà từ đây ta dễ thấy $a_1$ cũng phải là số nguyên dương.

Theo đó, dễ thấy  cặp số nguyên dương $(a_1; b_0)$ cũng thỏa $(2)$ và từ cách chọn ra bộ số $(a_0 ; b_0)$ thì hiển nhiên:

$ a_1 + b_0 \geq a_0 + b_0 $

$ \implies  a_1 \geq a_0  \implies  \frac{b_0^{2}+k}{a_0} \geq a_0  \implies  k \geq a^{2}_0 -  b^{2}_0$
 
$\implies  \frac{(a_0 -b_0)^2}{ 5a_0 b_0-1} \geq a^{2}_0 -  b^{2}_0$ $(4)$

Đến đây, ta thấy là không thể xảy ra trường hợp $a_0 > b_0$ vì nếu $  a_0 > b_0$ thì từ $(4)$ suy ra:

$  \frac{a_0 -b_0}{ 5a_0 b_0-1} \geq a_0 +  b_0 \implies a_0 -b_0 \geq (a_0 +  b_0) ( 5a_0 b_0-1)$

Điều này không thể xảy ra do $ (a_0 +  b_0) ( 5a_0 b_0-1) \geq 4 (a_0 +  b_0) > a_0 - b_0$

 

Do đó, chỉ có thể xảy ra trường hợp $a_0 = b_0$. Suy ra:  $k=0$.

Tức là $ k= \frac{(a-b)^2}{ 5ab-1}$ là số nguyên không âm khi và chỉ khi $ a=b$ $(**)$

 

Từ $ (*); (**)$, ta kết luận:

 

$  A = \frac{ 5ab(a^2 +b^2 - 2)}{ 5ab-1}$ là số nguyên dương khi và chỉ khi $a=b$ (đpcm)
 
 

Chấm điểm:

1. trantiennguyen: Bài làm ý tưởng chứng minh đúng, mạch lạc, ngắn gọn. Tuy nhiên chữ viết quá xấu, vừa mờ, vừa khó đọc, đạt $9$ điểm.
2. habcy12345: Bài giải đầu tiên nộp bị sai nên tất nhiên không xét đến bài giải bổ sung, đạt $0$ điểm

3. mathproo: Bài giải bị sai ngay đoạn $\Rightarrow k=\frac{5b_{0}^2+m-2}{5a_{0}}>a_{0}>b_{0}$, đạt $0$ điểm.
4. Nguyen Bao Khánh: Bài giải tốt, sạch, đẹp, đạt $ 10$ điểm
5: bahieupbc: Lời giải tốt, điểm trừ Latex sai dẫn đến vài đoạn giám khảo khó đọc, đạt $9.5$ điểm

6: qminhdls: Lời giải viết không tốt, lúc thì $H$, lúc thì $T$ lung tung lẫn lộn. Ngoài ra cũng không chỉ ra rằng vai trò của $A;B$ như nhau nên chỉ cần xét $ A \geq B$. 

Nếu không có giải thiết 
$ A \geq B$ thì bất đẳng thức : $ \frac{ (A-B)^2}{ 5AB -1} \geq A- B$ là đúng chứ không sai.
Đạt $4$ điểm

7 huytran08: Lời giải sai, $0$ điểm
8 duc3290: lời giải ý tưởng đúng tuy nhiên ký hiệu $ \rightarrow$ là sai, chỉ có ký hiệu $ \implies$ hoặc $ \Leftrightarrow$ mà thôi, $8$ điểm . Lỗi trình bày này quá cơ bản và không đáng mắc phải.

Các thành viên nhận giải : Nguyen Bao Khanh, Tran Tien Nguyen, baohieupbc vui lòng xác minh thông tin (thẻ học sinh, sổ liên lạc, giấy khai sinh...) với giảm khảo hxthanh để chứng minh bản thân là học sinh THCS để nhận giải.

Các bạn lưu ý:

Có $2$ cách trình bày:
 

cách $1$: chứng minh không thể xảy ra trường hợp $ a > b$ , cũng không thể xảy ra trường hợp $ a<b$ , sau đó kết luận $a =b$ (như trantiennguyen trình bày)

Cách $2$: nhận xét đầy đủ: " Vai trò của $a; b $ là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét trường hợp: $ a \geq b$ " (như Nguyen Bao Khanh trình bày) , sau đó đi chứng minh không thể xảy ra $ a >b$ rồi kết luận chỉ có thể xảy ra trường hợp $a =b$.

Nếu không nêu rõ vai trò $a; b $ như nhau mà giả sử ngay $ a \geq b$ thì sẽ không được tối đa điểm.


Trong chủ đề: Tính $lim(x_n.y_n)$

03-02-2024 - 19:27

Bài này đơn giản. Mấu chốt bài này là từ " cấu trúc lặp " :  $ x_{n+1} = (x^{2}_n - 2)^2 -2$ ta đoán ra ngay là có liên quan đến việc chuyển $x_1$ về dạng $ a + \frac{1}{a}$.

Thật vậy, Xét phương trình $ \alpha + \frac{1}{\alpha} = 3$, ta lưu ý đến nghiệm của phương trình này trên tập hợp $(2; + \infty)$

 

Ta thấy phương trình này chỉ có nghiệm duy nhất thuộc tập hợp $(2; + \infty)$ là : $ \alpha_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $

 

Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được:

$ x_n = \alpha^{4^{n-1}}_1 + \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}$ với mọi $n \geq 1$

Ngoài ra: $ y_n =  \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}$ với mọi $n \geq 1$

Suy ra : $ \lim_{n \to + \infty} (x_n \cdot y_n ) = \lim_{n \to + \infty}   \left( \alpha^{4^{n-1}}_1 + \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}  \right) \cdot  \frac{1}{ \alpha^{4^{n-1}}_1}$

$ = \lim_{n \to + \infty} \left( 1 +  \frac{1}{ \alpha^{2 \cdot 4^{n-1}}_1} \right) = 1$ ,

Ở đây do $ \alpha_1 >2 >1 $ nên hiển nhiên :  $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{ \alpha^{2 \cdot 4^{n-1}}_1} = 0$

Lâu ngày quá không giải Toán, hi vọng là không bị sai ở đâu đó :D

 

Nhận xét:

 

Bài này sẽ không chỉ dừng lại ở đây đâu, nếu tiếp tục mở rộng ra thêm nữa, ta có thể xây dựng các bài toán khó hơn nhiều cũng dựa vào cấu trúc: $  \alpha \pm \frac{1}{\alpha} $. Chẳng hạn như có thể xây dựng thành các dạng lũy thừa kiểu:  $\alpha^{3^n} \pm  \frac{1}{ \alpha^{3^n}}$ với mọi $n \geq 1$.

Cái này thì chắc trông chờ vào tài năng sáng chế bài toán của Hoàng Xuân Thanh để có các bài Toán hay cho mọi người cùng giải.


Trong chủ đề: $ x_{1}=4$ và $x_{n+1}=45.x_{n...

08-11-2023 - 18:44

Bài này mấu chốt là cần nhìn ra: $ 45^2 = 2025$

 

Ta có:  $ x_{n+1} - 45 x_n = \sqrt{ 2024 x^{2}_{n} +16}  \implies ( x_{n+1} - 45 x_n )^2 =  2024 x^{2}_{n} +16  \implies x^{2}_{n+1} - 90 x_{n+1} x_n   + 2025 x^{2}_{n} =  2024 x^{2}_{n} +16 $

 

$\implies x^{2}_{n+1} - 90 x_{n+1} x_n   +  x^{2}_{n} = 16 \  (*)$ 

 

tức là giờ ta sẽ tập trung tìm CTTQ của dãy $(x_n)_{n \geq 1}$ dựa vào đẳng thức $(*)$

 

Thật vậy, dễ thấy từ $(*)$ thì ta cũng có:

 

 

$\implies x^{2}_{n+2} - 90 x_{n+2} x_{n+1}   +  x^{2}_{n+1} = 16 \  (**)$

 

Lấy $2$ đẳng thức $(*)$ và $(**)$ trừ nhau vế theo vế, ta có:

 

 

$ x^{2}_{n+2} -  x^{2}_{n} -  90 x_{n+1}  ( x_{n+2}  - x_n)= 0$

 

$ ( x_{n+2} -  x_{n}) ( x_{n+2} +  x_{n} )  -  90 x_{n+1}  ( x_{n+2}  - x_n)= 0$

Suy ra $  ( x_{n+2} -  x_{n}) ( x_{n+2} +  x_{n}   -  90 x_{n+1} )= 0 \ (***)$

 

Mà rõ ràng từ giả thiết bài toán, ta thấy rõ ràng $ x_{n+1} > 45 x_n > x_n \implies x_{n+2} > x_n $ với mọi số nguyên dương $n$

 

Nên từ đẳng thức $(***)$ thì rõ ràng  $x_{n+2}    -  90 x_{n+1}  +  x_{n} = 0  \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Theo đó, dãy $(x_n)_{n \geq 1}$ là dãy truy hồi tuyến tính cấp $2$, phương trình đặc trưng của nó : $ y^2 -90y +1 =0$ có $2$ nghiệm 

$ y_{1; 2} = 45 \pm 2\sqrt{506}$ và dãy này theo đó sẽ có CTTQ dạng : $ x_n = A \cdot y^{n}_1 + B \cdot y^{n}_2 \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

 

Trong đó, các hệ số $ A; B $ này được xác định thông qua việc giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} x_1 = A y_1 + B y_2 & \\ x_2 = A y^2_{1} + By^2_{2} \end{matrix}\right.$

 

Trong đó, chú ý là theo định lý Viette thì tích $ y_1 \cdot y_2 = 1$ , tức là ta có thể viết hệ này dưới dạng:

 

 

$\left\{\begin{matrix} 4 = A y_1 + \frac{B}{y_1}  & \\ 360 = A y^2_{1} + \frac{B}{y^2_{1}} \end{matrix}\right.$

 

Thực ra cái này giờ đơn giản rồi, tính nhẹ nhàng thì ra được:

 

$ A = \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} ; B = 4y_1 - A \cdot y^{2}_1$

 

Tức là: $ x_n =  \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} \cdot y^{n}_{1} +  \left( 4y_1 - \left(  \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} \right) \cdot y^{2}_1 \right) \cdot  \frac{1}{ y^{n}_{1}}  = \frac{360y_1 - 4}{y^{3}_1 - y_1} \cdot y^{n}_{1} +  \left( 4y_1 - \frac{360y^{2}_1 - 4y_1}{y^{2}_1 - 1}   \right) \cdot  \frac{1}{ y^{n}_{1}} \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

 

Viết gọn nhất dưới dạng:

$ x_n = \frac{360y_1 - 4}{y^{2}_1 - 1} \cdot y^{n-1}_{1} +  \frac{4y_1 - 360}{y^{2}_1 - 1} \cdot  \frac{1}{ y^{n-2}_{1}} \ \forall n \in \mathbb{N}^{*}$

 

 

Trong đó $ y_1 = 45+2\sqrt{506}$

 

Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.


Trong chủ đề: Chứng minh rằng $(abc)^2(a^2+b^2+c^2) \leq 3$

26-08-2023 - 16:54

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số:

 

$ 27 (abc)^2 (a^2+b^2+c^2) = (3ab) \cdot (3bc) \cdot (3ca) \cdot (a^2 + b^2 + c^2) \leq \left( \frac{3ab+3bc+3ca + a^2 + b^2 + c^2}{4} \right)^4 $

 

$= \left( \frac{ab+bc+ca + (a + b + c)^2}{4} \right)^4  \leq   \left( \frac{ \frac{(a + b + c)^2}{3} + (a + b + c)^2}{4} \right)^4  =   \left( \frac{(a + b + c)^2}{3} \right)^4 = 3^4 \implies  (abc)^2 (a^2+b^2+c^2) \leq 3$


Trong chủ đề: Tính giá trị của $ (a+2)(b-10)(c+2)$

10-07-2023 - 23:40

ĐÃ TIẾP THU Ý KIẾN TỪ THẦY GIÁO PHẠM HẢI ĐĂNG VÀ SỬA LẠI.

Bài này cách nhanh nhất thế này:

 

$ x^2 + x = x(x+1) = y+x = 2a  \implies x(x+1) = 2a $ với $a$ là số nguyên tố.

 

Trường hợp $1$: Nếu $ a | x$ thì $ x = ka$ với $k$ là số nguyên , suy ra: $ x +1 = ka +1  \implies ka(ka +1) = 2a  \implies k(ka+1) = 2$

Suy ra có $4$ trường hợp có thể xảy ra: $ k =1 ; ka+1 = 2$ hoặc  $ k =2 ; ka +1 = 1$ hoặc   $ k = -1 ; ka+1 = -2$ hoặc   $ k = -2 ; ka+1 = -1$

Mà $a$ là số nguyên tố nên dễ thấy chỉ có thể xảy ra: $ k = -1; a =3$

 

Suy ra $ x =  -3; y = 9$

 

Do $ z-y = 2(b-a)$ là số chẵn, nên hiển nhiên $2$ số $ z ; y$ cùng tính chẵn lẻ, suy ra nếu $ \sqrt{z}$ là số nguyên dương thì $ \sqrt{z} -\sqrt{y}=  \sqrt{z} -3$ là số chẵn . Khi đó chỉ có thể xảy ra trường hợp:  $  \sqrt{z} -3 =4$ Suy ra:  $ z = 49$

 

 

$ z+x = 2b \implies 46 = 2b \implies b = 23$

$ y+z = 2c \implies 58 = 2c \implies c = 29$

Thỏa mãn điều kiện $a; \ b; \ c $ là số nguyên tố:

 

Suy ra: $(a+2)(b-10)(c+2) = 5 \cdot 13 \cdot 31 = 2015$

 

Trường hợp $2$: Mà nếu $ a | x+1$ thì  $ x+1 = ka $ với $k$ là số nguyên , suy ra: $ x = ka -1  \implies ka(ka -1) = 2a  \implies k(ka-1) = 2$

 

Suy ra có $4$ trường hợp có thể xảy ra: $ k =1 ; ka-1 = 2$ hoặc    $ k =2 ; ka -1 = 1$ hoặc   $ k = -1 ; ka-1 = -2$ hoặc   $ k = -2 ; ka-1 = -1$

 

Mà $a$ là số nguyên tố nên dễ thấy chỉ có thể xảy ra: $ k =1; a =3$

 

Suy ra $ x = 2; y = 4$

 

Lập luận tương tự ở trên, ta có: $ \sqrt{z} -\sqrt{y}=  \sqrt{z} -2 =4$ Suy ra:  $ z = 36$

 

$ y+z = 2c \implies 38 = 2b \implies c = 20$, loại  trường hợp này vì $c$ phải là số nguyên tố.