Đến nội dung

supermember

supermember

Đăng ký: 01-09-2006
Offline Đăng nhập: 19-03-2024 - 20:53
****-

#218670 Đề thi Chọn đội tuyển KHTN (vòng 1)

Gửi bởi supermember trong 26-10-2009 - 19:00

Thực ra thì những điều Trung nói tuy hơi khó nghe nhưng không phải là không có cơ sở

Bài thi IMO gây ấn tượng mà Đức nói đến cũng có phải là của Việt Nam đâu , chỉ là thi ở Việt Nam thôi

Chắc cũng cần phải xem lại uy tín , trình độ của cả 1 nền giáo dục về Toán

Tại sao không đặt ra câu hỏi , cái ông Daji gì đó năm nay mới 21 đã có bài toán được chọn làm đề IMO , Việt Nam thì cả 1 đội ngũ giáo

sư được đi Nga về mà mãi chả có bài nào được chọn , cần suy nghĩ lắm chứ

Còn về việc đề thi ở các cấp cơ sở có dễ 1 chút thì cũng là điều nên làm , thiết nghĩ Người yêu toán thì rất nhiều nhưng người giỏi đến

trình độ cỡ anh Tân thì không nhiều ( mà anh ấy cũng chưa đến mức giỏi toàn diện ) . Cũng không nên ra những đề ở cấp cơ sở quá khó ,

sẽ không có tác dụng khuyến khích được phong trào học toán . Còn ở các cấp TST thì khó lên hẳn để chọn ra 6 em giỏi nhất .

Có điều này Hero TVƠ đã định nêu ra từ rất lâu :

Chúng ta nên thiết kế các đề thi ở mức cơ sở tương đối nhẹ , sau đó có những giải be bé như Quận , thành phố . Điều này không hề ảnh

hưởng đến chất lượng giáo dục , mà còn có tác dụng khuyến khích phong trào học Toán vốn đang đi xuống . Như thành phố Hồ Chí Minh

năm 2008 , đề chọn đội tuyển TP đến 7 bài trong 180 ph , trong đó có 1 bài lấy từ Mathlinks contest , 1 bài trong sách thầy Hà T T

và .............tránh sao nổi tiêu cực , bệnh thành tích ....... Thế nên các kết quả VMO của năm 2008 không thật tốt .




#217619 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyê...

Gửi bởi supermember trong 18-10-2009 - 01:21

Bài Toán :


Cho các số nguyên tố $ p ; q $ và số nguyên dương $r$ thỏa mãn các điều kiện :

$ p > r^{q-1} \ ; \ q| (p-1) \ ; \ q \not | r$

Giả sử tồn tại $r$ số nguyên $ a_1 ; a_2 ; ...; a_r$ sao cho : $ \sum_{i=1}^{r} a^{\dfrac{p-1}{q}}_i \ \equiv 0 \ \ ( mod \ \ p)$


Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$




#216467 Tuyển tập bất đẳng thức

Gửi bởi supermember trong 07-10-2009 - 09:51

Vừa tìm được trên mạng tập tài liệu này , các bài tập về bất đẳng thức được sưu tầm khá phong phú , có vài cách giải mới và hay thêm

vào đó là vài bài toán do tác giả sáng tác


Mọi người down về tham khảo nhé .

File gửi kèm




#216451 $\left( \sum kx_k \right) \left( \sum x^2_k...

Gửi bởi supermember trong 06-10-2009 - 21:59

Bài Toán này chưa có lời giải bằng Đại Số thuần túy nên post đây thử xem



Bài Toán : Với $n \ \geq 2 $ . Tìm hằng số $ \mathcal C(n)$ lớn nhất sao cho với mọi bộ $n$ số thực không âm$ x_1 ; x_2 ; ....; x_n $ thì bất đẳng thức sau luôn đúng :

$$ (x_1 + 2 x_2 + ...+ nx_n)( x^2_1 + x^2_2 +...+x^2_n) \ \geq \ \mathcal C(n) \left( x_1 + x_2 +...+ x_n \right)^3$$




#210021 Lời giải đề thi Quốc Gia của các nước châu Âu

Gửi bởi supermember trong 14-08-2009 - 12:49

Tình cờ tìm thấy tập tài liệu này . Gửi lên cho các bạn trẻ có thứ mà làm

Trong tập tài liệu này cũng có chừng mười mấy bài toán khó , chưa có lời giải đẹp nào được đưa ra , ngay cả trên Mathlinks .

Tiếc quá , thấy tài liệu hay mà cũng chả có thời gian xem, , buồn ghê .


Nguyễn Kim Anh , I miss you

File gửi kèm




#207876 Đề và lời giải USA TST 2006 - 2007

Gửi bởi supermember trong 03-08-2009 - 12:05

Tuy vẫn có vài lỗi đánh máy nhưng có thể chấp nhận được

File gửi kèm




#203833 $ A \ = \ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k...

Gửi bởi supermember trong 03-07-2009 - 22:00

Nhân dịp này cũng chúc mấy cu 12 mai thi thật tốt nhé . Bài này mang dáng dấp thi ĐH thôi .

Lời giải sau đây của 1 cậu bạn ở Trung Quốc , rất sâu sắc :

Lời giải : Đầu tiên ta đi chứng minh 1 bổ đề quen thuộc :

Bổ đề : với $ m ; n \in N$ thì : $ T \ = \ \int_{0}^{1} t^m (1-t)^n dt \ = \dfrac{m! n!}{(m+n+1)!} \ = \ \dfrac{1}{(m+n+1) C_{m+n}^{m}}$

Chứng minh : tư tưởng dựa vào phương pháp tích phân từng phần .
Đặt $ u = (1-t)^n \Rightarrow u' = -n(1-t)^{n-1}$ ; $ v' = t^m \Rightarrow $ chọn $ v \ = \ \dfrac{t^{m+1}}{m+1}$

Theo công thức tính tích phân từng phần :

$ T \ = \ \dfrac{ (1-t)^n t^{m+1} }{m+1} \quad\bigg|_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \dfrac{n(1-t)^{n-1} t^{m+1}}{m+1}dt $ $ = \dfrac{n}{m+1} \int_{0}^{1} (1-t)^{n-1} t^{m+1}dt = ...= \dfrac{m! n!}{(m+n)!} \int_{0}^{1} t^{m+n} dt = \dfrac{m! n! }{(m+n+1)!} $

Bổ đề được chứng minh .
Vào bài : Theo bổ đề thì ta có thể viết lại tổng $A$ dưới dạng :
$ A \ = \ \sum_{k=0}^{2n} (2n+1) C_{4n}^{2k} (-1)^{k} \int_{0}^{1} t^k (1-t)^{2n-k} dt = (2n+1) \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=0}^{2n} C_{4n}^{2k} (-t)^k (1-t ) ^{2n-k} \right) dt$

Đặt $ t = x^2 \Rightarrow dt = 2xdx$ Khi đó :

$ A = 2(2n+1) \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=0}^{2n} C_{4n}^{2k} (-x^2)^k (1-x^2 ) ^{2n-k} \right)x dx = 2(2n+1) \int_{0}^{1} F_{4n} (x) x dx$ với $ F_{4n} (x) \ = \ \sum_{k=0}^{2n} C_{4n}^{2k} (-x^2)^k (1-x^2 ) ^{2n-k}$


Với $ x \ \in \ [0 ; 1] $ thì cần tinh ý để thấy được là : $ F_{4n} (x) \ = \ \dfrac{ \left(\sqrt{1-x^2} + ix \right)^{4n} + \left(\sqrt{1-x^2} - ix \right)^{4n}}{2}$
Đặt $ x = sin \varphi \Rightarrow dx = cos\varphi d\varphi$ . Do $ x: 0 \ \to \ 1 \Rightarrow \varphi : 0 \ \to \ \dfrac{\pi}{2} $

Theo công thức $ De- Moivre$ : $ \left( cos\varphi + isin \varphi \right)^{n} = cosn \varphi + isinn \varphi$

$\sqrt{1-x^2} + ix = \sqrt{1 - sin^2 \varphi } + isin \varphi = cos\varphi + isin \varphi $

$\sqrt{1-x^2} - ix = \sqrt{1 - sin^2 \varphi } + isin(- \varphi )= cos(-\varphi) + isin(- \varphi ) $

$ \Rightarrow \left(\sqrt{1-x^2} + ix \right)^{4n} + \left(\sqrt{1-x^2} - ix \right)^{4n} $

$= cos4n \varphi + isin4n \varphi + cos(-4n \varphi) + isin(-4n \varphi ) = 2cos4n \varphi $

$ A = 2(2n+1) \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} cos4n \varphi cos\varphi sin \varphi d\varphi = A = (2n+1) \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} cos4n \varphi sin 2 \varphi d\varphi $

Ta chỉ cần tính tích phân $ \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} cos4n \varphi sin 2 \varphi d\varphi $

$ = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \left( sin (4n+2) \varphi - sin (4n-2) \varphi \right)d\varphi $

$ = \left( \dfrac{cos (4n-2) \varphi }{4n-2} \ - \dfrac{cos (4n+2) \varphi }{4n+2} \right) \quad\bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \ = \ \dfrac{-1}{(2n+1)(2n-1)}$

Vậy : $ A \ = \ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \dfrac{ C_{4n}^{2k}}{C_{2n}^{k}} \ = \ \dfrac{-1}{2n-1} $


Và đôi khi thế gian này thầm lặng quá....


#203774 $ A \ = \ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k...

Gửi bởi supermember trong 03-07-2009 - 11:59

Tính tổng : $ A \ = \ \sum_{k=0}^{2n} (-1)^k \dfrac{ C_{4n}^{2k}}{ C_{2n}^{k} }$



Bài này không khó nhưng làm được thì chứng tỏ có "con mắt đại số" rất tốt


#184162 $\sum_{k = 1}^{n}\dfrac {( - 1)^...

Gửi bởi supermember trong 28-04-2008 - 11:34

Problem

Prove the following equalities for positive integer n :



$a/$ $\sum_{k = 1}^{n}\dfrac {( - 1)^{k - 1}}{2k - 1}C_{n}^{k}.C_{n + k - 1}^{k - 1} = 1$



$b/$ $\sum_{k = 1}^{n}\dfrac {( - 1)^{k - 1}k^{n}}{2k - 1}C_{n}^{k} = \dfrac {(n!)^{2}.2^{n}}{(2n)!}$


Anh Quý , Anh Tân vào giải đi

Bài này chắc vào phần sở trường của 2 anh




29/4 sinh nhật bé iu
Chúc bé thi đậu ĐH Y dược




#181455 $\sum (C_{n}^{k})^{2}.x^{n-k...

Gửi bởi supermember trong 09-03-2008 - 11:45

Bài toán :

Cmr với mọi số nguyên dương $n$, phương trình

$$ (C_{n}^{0})^{2}.x^{n} + (C_{n}^{1})^{2}.x^{n-1} +....+ (C_{n}^{n})^{2} = 0$$

Có $n$ nghiệm thực phân biệt và tất cả các nghiệm đó đều âm

Mong diễn đàn như xưa

File gửi kèm

  • File gửi kèm  vong2.pdf   213.75K   47 Số lần tải



#159943 Thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT Chuyên Phan Bội Châu

Gửi bởi supermember trong 11-07-2007 - 07:59

Câu 5 ta sử dụng bđt sau:$(a+c).m \geq 2S $ (a,c là độ dài 2 cạnh đối của tứ giác,m là độ dài 1 đg` chéo)
Khi đó:$(a+c+m)^2 \geq 8S =>a+c+m \geq 2\sqrt{2S} $
Dấu bằng đạt khi:Tứ giác trở thành hình thang,có 1 đường chéo vuông góc với 2 đáy và đường chéo đó có độ dài bằng tổng độ dài 2 đáy.
Khi đó $S=\dfrac{m^2}{2} $ và $\dfrac{n}{m}=\sqrt{2} $ hay $n=2\sqrt{S} $ (với n là độ dài đường chéo còn lại)


#159906 Thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT Chuyên Phan Bội Châu

Gửi bởi supermember trong 10-07-2007 - 20:52

hix, làm sao các bác nghĩ ra cách làm bài 2b, chẳng tự nhiên chút nào

Có gì mà ko tự nhiên nhỉ,đơn giản chỉ là Cauchy ngược dấu thôi mà :D


#159761 Thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT Chuyên Phan Bội Châu

Gửi bởi supermember trong 09-07-2007 - 20:41

hix, đề này khó gấp mấy lần đề KHTN ấy chứ
cho tui hỏi bài 2 (cả câu a và b) làm ntn

Bài 2a:đánh giá x=0 hệ VN.Khi $x \neq 0 $ nhân x vào 2 vế pt (2)
$xy+x^2y^2+6x^3=0 $.
Sau đó thay $x^3=..$ vào pt (1) là okie
bài 2b:dùng Cauchy ngược dấu:
$VT=\sum (a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}) \leq \sum (a-\dfrac{ab}{2}) $
Okie?


#159755 Thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT Chuyên Phan Bội Châu

Gửi bởi supermember trong 09-07-2007 - 19:27

""p/s:đề năm nay khó hơn các đề của KHTN""
I don't think so :D

Do you solve ex 5??


#159484 Thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT Chuyên Phan Bội Châu

Gửi bởi supermember trong 07-07-2007 - 20:52

Câu 1 (6 điểm):
a.Giải pt:$1+\sqrt{1+x}=x^2 $
b.Cho đa thức bậc bốn P(x) với các hệ số nguyên thỏa mãn P(x) chia hết cho 7 với mọi x thuộc Z (Z là tập số nguyên).Chứng minh các hệ số của P(x) chia hết cho 7
Câu 2 (5 điểm):
a.Giải hệ pt:
$1+x^3y^3-19x^3=0 $
$y+xy^2+6x^2=0 $
b.Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=3$
Chứng minh:$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \geq \dfrac{3}{2} $
Câu 3 (2 điểm)
Trong một hình chữ nhật có diện tích bằng 5 chứa 9 hình chữ nhật nhỏ,mỗi hình chữ nhật nhỏ có diện tích bằng 1.Chứng minh rằng tồn tại 2 hình chữ nhật nhỏ có diện tích phần chung ko nhỏ hơn $\dfrac{1}{9} $
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AN và CK.Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt đường tròn (O) tại điểm M (M khác B).Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AC
a.Chứng minh EK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN
b.Chứng minh EM vuông góc với MB
Câu 5 (2 điểm)
Biết rằng một tứ giác lồi có tổng hai cạnh đối và một đường chéo không lớn hơn $2\sqrt{2S} $.Tính độ dài đường chéo còn lại theo S
----------------------------------------------------------
p/s:đề năm nay khó hơn các đề của KHTN,SP (HN),LHP,PTNK (TPHCM) là cái chắc