Gachdptrai12

   C/m bổ đề 

bạn expand ra xong dùng AM-GM là xong thôi 

cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$ . CMR

$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-2(x^2+y^2+z^2)\geq \sqrt{3}-2$

áp dụng bổ đề $\sum \frac{x^{2}}{y}\geq \frac{(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{xy+yz+zx}$

đổi biến pqr ta chỉ cần chứng minh bất đằng thức sau

$p^{3}-2p^{2}-2p-\sqrt{3}+6\geq 0$ hàm $f(p)$ đồng biến trên $ p \geq \sqrt{3}$ nên ta có đpcm

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1, chứng minh rằng:

$ab^2+bc^2+ca^2\ge ab+bc+ca$

Đổi biến $(a,b,c)->(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$ Bất đẳng thức trở thành

$\sum \frac{a^{2}}{bc}\geq \sum \frac{a}{c}\Leftrightarrow \sum a^{3}\geq \sum a^{2}b$ hiển nhiên là AM-GM

Tiếp nối 1 bài BĐT mà anh Huyện Post bên AOPS theo mình nghĩ là rất khó
1)Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác chứng minh rằng
$\sum a^{2}(\frac{b}{c}-1)\geq \frac{(a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}}{abc(a+b+c)}$
2)Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác tìm số thực k tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng
$\sum a^{2}(\frac{b}{c}-1)\geq \frac{k(a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}}{abc(a+b+c)}$

Cho $ a,b,c$ là các số thực dương 
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt[6]{\frac{a^{6}+b^{6}+c^{6}}{3}}$

cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $2\sqrt{xy}+\sqrt{\frac{x}{z}}=1$

Tìm Min $P=\frac{3yz}{x}+\frac{4xz}{y}+5xyz$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=1$ tìm số thực $k$ tốt nhất để bất đẳng thức đúng
$\frac{a^2+kbc^2}{b+c}+\frac{b^2+kca^2}{c+a}+\frac{c^2+kab^2}{a+b} \ge \frac{1}{2}+\frac{k}{6}$

Mình có một lời giải có hơi phức tạp

P/s nhác viết latex thông cảm

bằng cách thay $a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z}$ ta có BĐT$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}+b^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}}\leq \frac{3}{2}$ đây à bđt quen thuộc của Vasc với cách dùng "Đối xứng hóa"

Ta có:$\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}\ge^{Cauchy-Schwarz} \frac{(\sqrt{a^2+3b^2})^2}{4(a+b+c)}\rightarrow A$.

Ta đi Cm:  $A\ge 3\iff \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge \sqrt{12(a+b+c)}$.

Thật vậy: Ta có: $\sqrt{a^2+3b^2}\ge \frac{a}{2}+\frac{3b}{2}\iff (a-b)^2\ge 0$.

$\implies \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge 2(a+b+c)\ge \sqrt{12(a+b+c)}\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$

sai rồi bạn vì $\sum a^{2}= 3\Rightarrow \sqrt{\sum a} \leq \sqrt{3}$ $\Rightarrow$$2\sqrt{\sum a}-\sqrt{12} \leq 0$ 

Lấy 1 bài hiện unsolve trên AOPS, và MARATHON BĐT

cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c^{2}}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$

2 đáp án khác nhau này mọi người

đáp án cuả anh việt sử dụng tính chất hàm lồi lõm mà chương trình phổ thong chưa dạy

bài 38)cho a,b,c là các số thực ko âm và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ chứng minh
$\sum \frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}\geq 3$

Bài toán 33. (AoPS) Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a,b,c\geq 1$ và $a+b+c+2=abc$. Chứng minh rằng

\[\dfrac{\sqrt{ab-1}+\sqrt{bc-1}+\sqrt{ca-1}}{\sqrt[4]{abc}}\leq \dfrac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}}\]

Loi Giai:BĐT$\Leftrightarrow \sum \sqrt{ab-1}\leq \frac{1}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}})\Leftrightarrow 2\sum \frac{x(x+y+z)}{yz}\leq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}})\Leftrightarrow 4\sum \frac{x(x+y+z)}{yz}+8 \sum \frac{x+y+z}{\sqrt{xy}}\leq (a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}))(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

áp dụng bđt schur dạng phân thức $a+b+c\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})-\frac{9abc}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

ta cần chứng minh $4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}-\frac{9\sqrt{abc}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc+\sqrt{ca}})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq 4\sum \frac{x(x+y+z)}{yz}+8\sum \frac{x+y+z}{\sqrt{xy}}$

mà$(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}= \sum \frac{(x+y)(x+z)}{xy}+2\sum \frac{(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x\sqrt{yz}}\geq \sum \frac{(x+y)(x+z)}{xy}+2\sum \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x\sqrt{yz}}= \sum \frac{(x+y)(x+z)}{xy}+2\sum \frac{y+z}{x}+2\sum \frac{x+y}{\sqrt{xy}}$

ta sẽ chứng minh $8\sum \frac{y+z}{x}-8\sum \frac{z}{\sqrt{xy}}+12\geq \frac{9\sqrt{abc}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc+\sqrt{ca}})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

mà $8\sum \frac{z}{\sqrt{xy}}\leq 4\sum (\frac{z}{x}+\frac{z}{y})= 4\sum \frac{x+y}{z}$

vậy ta có $4\sum \frac{x+y}{z}+12\geq \frac{9\sqrt{abc}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\Leftrightarrow 2(\sum \frac{1}{z})(\sum (x+y))\geq \frac{9\sqrt{abc}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$ 

áp dụng C-S $2(\sum (x+y))(\sum \frac{1}{z} )\geq 2(\sum \sqrt{\frac{y+z}{x}})^{2}= 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$

ta cần chứng minh $2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{3}\geq 9\sqrt{abc}(\sum \sqrt{ab})=9(\sum \sqrt{ab})\sqrt{a+b+c+2}$ mà $a+b+c\geq6$ nên ta có $\sqrt{a+b+c+2}\leq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a+b+c}$$(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{3}\geq$

ta chứng minh  $3\sqrt{3(a+b+c)(\sum \sqrt{ab})^{2}}$ mà theo AM-GM $27(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\leq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{6}$ vậy ta có đpcm

bài 35:VQBC cho $a,b,c$$2(\frac{a}b{+\frac{b}c{+\frac{c}{a}}})+1\geq \frac{21(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$ là các số thực ko âm chứng minh

P/s cho mình được phá lệ nha vì bài 35 mình thấy hay nên cho mình đăng 1 bài dùng 35 làm bổ đề và bài 35 cũng rất thú vị cho những ai giải các bđt hoán vị. Thím Long cho cái P/S zô hide hộ :3

Bài 35/1:(Sưu Tầm) cho $a,b,c >0$ chứng minh$\frac{7\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{a+b+c}+\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq 8$

Bài toán 28. (Tập huấn đội tuyển Việt Nam 2016). Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng
\[ \sqrt{a^2+2bc}+\sqrt{b^2+2ca}+\sqrt{c^2+2ab} \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}+2\sqrt{ab+bc+ca}.\]

 Lời giải bài 28. Phân tích về dạng S.O.S ta được
$\sum \frac{(a-b)^{2}}{\sqrt{c^{2}+2ab}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{\sum (a-b)^{2}}{\sqrt{ab+bc+ca}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
Áp dụng bất đẳng thức C-S ta có
$\sum \frac{(a-b)^{2}}{\sqrt{c^{2}+2ab}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{[\sum (a-b)^{2}]^{2}}{(a-b)^{2}(\sqrt{c^{2}+2ab}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})}$
Ta chỉ cần chứng minh
$(\sqrt{ab+bc+ca}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})\sum (a-b)^{2}\geq \sum (a-b)^{2}(\sqrt{c^{2}+2ab}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})$

$\Leftrightarrow\sqrt{ab+bc+ca}\sum (a-b)^{2} \geq \sum (a-b)^{2}\sqrt{c^{2}+2ab}$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\sqrt{ab+bc+ca}-\sqrt{c^{2}+2ab})\geq 0$
Bây giờ ta sử dụng bất đẳng thức $\sqrt{x}-\sqrt{y}\geq \frac{x-y}{2\sqrt{x}}$ ta có
$\sum (a-b)^{2}(\sqrt{ab+bc+ca}-\sqrt{c^{2}+2ab})\geq \frac{\sum (a-b)^{2}[ab+bc+ca-2ab-c^{2}]}{2\sqrt{ab+bc+ca}}= \frac{\sum (a-b)^{2}(a-c)(b-c)}{\sqrt{ab+bc+ca}}$
Mà $\sum (a-b)^{2}(a-c)(b-c)=0$ nên ta có điều phải chứng minh

 

 Bài toán 29. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho $a,b,c$ là các số thực không âm chứng minh

$\sqrt{4a^{2}+bc}+\sqrt{4b^{2}+ca}+\sqrt{4c^{2}+ab}\leq \frac{5}{2}(a+b+c)$