Fr13nd

mỗi cái cộng 1/2 là xong 

Tranh thủ đêm khuya:
Lời giải:
$BE, CF$ thứ tự cắt lại $(K)$ tại $X, Y$.
Ta có $\widehat{EXF}=\widehat{EDF}=\widehat{BAC}$(do $AEDF$ là hình bình hành) $=\widehat{BNF}$. Do đó $X, B, N, F$ đồng viên. Tương tự thì $Y, C, M, E$ đồng viên.
Đặt $(S)=(CMEY)$, $(R)=(BNFX)$. Theo giả thiết thì ta có: $O, S, P$ thẳng hàng và $O, R, Q$ thẳng hàng.
Ta có $\widehat{ESC}=2\widehat{EMC}=2\widehat{BAC}=\widehat{BOC}$, mặt khác $\triangle ESC, \triangle BOC$ thứ tự cân tại $S, O$ nên $\triangle ESC \sim \triangle BOC$, suy ra $\triangle CSO \sim \triangle CEB$.$(1)$
Ta lại có $\widehat{MSE}=2\widehat{ACM}=\widehat{MPC}$(do $(P;PM)$ tiếp xúc $AC$). Do $\triangle MSE, \triangle MPC$ thứ tự cân tại $S, P$ nên $\triangle MSE \sim \triangle MPC$, do đó $\triangle MSP \sim \triangle MEC$. $(2)$
Sử dụng hai cặp tam giác đồng dạng ở $(1)$ và $(2)$ ta có $\frac{SP}{SO} = \frac{SP}{SM}.\frac{SC}{SO}=\frac{EC}{EM}.\frac{EC}{EB}=\frac{EB}{EA}.\frac{EC}{EB}=\frac{EC}{EA}$. Tương tự thì $\frac{RO}{RQ}=\frac{FA}{FB}$. Mặt khác, $AEDF$ là hình bình hành, nên $\frac{EC}{EA}=\frac{DC}{DB}=\frac{FA}{FB}$. Do đó $\frac{SP}{SO}=\frac{RO}{RQ}$.
Đường thẳng qua $R$ song song $OP$ cắt $PQ$ tại $K$. Theo Thales thì $\frac{SP}{SO}=\frac{RO}{RQ}=\frac{KP}{KQ}$, do đó $KS \parallel OQ$. Dễ thấy $K$ thuộc trung trực $EY, FX$ nên $K$ là tâm ngoại tiếp $\triangle DEF$. Ta có đpcm.
P/s: bài này của thầy hay quá

em muốn hỏi anh sao anh xác định được 2 tứ giác nội tiếp ở đầu ạ để lấy tâm nữa ạ, bài giải anh hay quá

AP, BC, đường nối 2 chân đường phân giác từ E,F bài cho đồng quy đúng không ạ, em còn phần đó, tưởng dễ mà khó quá :v

đoạn này thế này mà chị làm tắt làm e chẳng hiểu gì   

thêm bớt thôi

ấn phẩm sai nhiều quá, điển hình là bước phân tích nhân tử trang 63, ví dụ 4.8 

Ta có $\sum \frac{2a^2-bc}{b^2+c^2-bc}=\sum (1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{b^2+c^2-bc})\geq \sum (1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{bc})=3-\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}=3-\frac{\sum ab(a+b)-2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$

Mà $2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b)(bdt- Shur)$

=>$\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}\leq 0=> VT\geq 3$

đoạn này nếu tử mà âm thì coi như là hỏng rồi bạn, khắc phục được không 

Dễ thấy đề sai vì giữa 0 và 1 không co nguyên tố

cần bắt bẻ vậy không bạn, nếu sửa đề đúng bằng cách thêm điều kiện thì bạn có làm được không

 

c)$\frac{x-49}{50}+\frac{x-50}{49}=\frac{50}{49-x}+\frac{49}{50-x}$

điều kiện x$\neq$49,50

phương trình (1) $\Leftrightarrow \frac{x-49}{50}+\frac{50}{x-49}=\frac{50-x}{49}+\frac{49}{50-x}\Leftrightarrow \frac{x-49}{50}+1+\frac{50}{x-49}-1=\frac{50-x}{49}+1+\frac{49}{50-x}-1\Leftrightarrow \frac{x-1}{50}+\frac{99-x}{x-49}=\frac{99-x}{49}+\frac{x-1}{50-x}$

tương tự có: A+1+B+1= C+1+D+1 <=> $\frac{x-1}{50}+\frac{x-1}{x-49}=\frac{99-x}{49}+\frac{99-x}{50-x}$

trừ 2 vế của 2 pt vừa tạo thành được

$\frac{100-2x}{x-49}=\frac{2x-100}{50-x}$ xong chưa

bài 3 cộng 2 pt được: $\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{4}{\sqrt{y}}=2\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}}=2-\frac{4}{\sqrt{y}}$

thay vào pt (1) được: $2-\frac{4}{\sqrt{y}}+\frac{4}{y+2x}=1\Leftrightarrow \frac{4}{y+2x}-\frac{4}{\sqrt{y}}=-1$

đặt $\frac{1}{\sqrt{x}}=a;\frac{4}{y+2x}=b$ kết hợp pt (2) ta có hệ phương trình cơ bản ẩn a và b

Bài 11: Giải PT: $(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1}=5x^{2}+\frac{3}{2}x-3$

Bài 12: Giải PT: $2\sqrt{2x-5}=27x^{2}-144x+191$

Bài 13: Giải HPT: $\begin{cases}& \sqrt{12-2x^{2}}= 4+y\\ & \sqrt{1-2y-y^{2}}=5-2x \end{cases}$

Bài 14: Giải PT: $(x-1)(2\sqrt{x-1}+3\sqrt[3]{x+6})=x+6$

bài 1: 2 vế cộng với (-x+1)

vế trái liên hợp, vế phải ptnt

Áp dụng bunhia: 

$(mn+1)(\frac{m}{n}+1)\geq (m+1)^2\Leftrightarrow \frac{1}{(m+1)^2}\geq \frac{1}{mn+1}(\frac{n}{m+n})$

Tương tự ta có $\frac{1}{(n+1)^2}\geq \frac{1}{mn+1}(\frac{m}{m+n})$

Cộng vào suy ra 

$\frac{1}{(m+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\geq \frac{1}{mn+1}$

cảm ơn bạn. Do lúc đầu bạn nói dấu bằng xảy ra là m=n nên mình mới thắc mắc 

không có máy tính đó m (( 

nhẩm hay vậy

mình thấy bình thường chỉ không hiểu tại sao bạn ấy nghĩ ra hướng như vậy thôi, chứ mấy con số kia nhẩm khó khăn gì đâu 

câu 1: đặt căn thức đầu là: a

đặt $\frac{2}{x}=b$ $\Rightarrow x=\frac{2}{b} (điều kiện b\neq 0)$

đặt căn thức thứ 2 là : c nên pt đã cho trở thành: $a+b=c+\frac{2}{b}$$\Rightarrow a-c=\frac{2}{b}-b$ (1)

dễ thấy $a^{2}-b=c^{2}-\frac{2}{b}$

$\Leftrightarrow a^{2}-c^{2}=b-\frac{2}{b}$ (2)

cộng 2 vế của pt (1) (2) ta được : $a^{2}-c^{2} +a-c =0\Leftrightarrow (a-c)(a-c+1)=0$

đến đây dễ rồi 

a^2+b^2-2

$a^{2}+b^{2}-2\geqslant 0$ chưa bạn 

PT vô nghiệm