tamthien19

Em có đọc bổ đề sau: Cho $K$ là trường có số phần tử khác 2, ma trận $A\epsilon M_n(K)$, $P\epsilon GL_n(K)$(tập cac ma trận khả nghịch). Khi đó, tồn tại ma trận $C\epsilon GL_n(K)$ để 2 ma trận $A-C$ và $C+P$ khả nghịch.

Chứng minh: Không mất tính tổng quát, giả sử $P=I_n$ (vì tích của 2 ma trận khả nghịch cũng khả nghịch).

.........................................................

Anh, chị cho em hỏi tại sao có dòng giải thích" vì tích của 2 ma trận khả nghịch cũng khả nghịch", em không hiểu giải thích này, nhớ anh, chị giải thích giúp em. Em xin cảm ơn.

Không phải thế này, mà là nếu ta chứng minh được trong trường hợp $P=I_n$ thì cũng chứng minh được cho $P$ khả nghịch bất kì.
Giả sử ta chứng minh được với trường hợp $P=I_n$ và $A$ bất kì.
Giờ xét $P$ bất kì và $A$ bất kì, ta xét trường hợp $P'=I_n$ và $A'=P^{-1}A$, ta tìm được $C'$ sao cho $I_n+C'$ và $A'-C'$ khả nghịch. Lúc này ta lấy $C=PC'$ thì $C+P=P(I_n+C)$ và $A-C=P(A'-C')$ khả nghịch, vậy ta chứng minh được cho $P$ và $A$ bất kì.
Tương tự với lấy $B$ đồng dạng, chỉ cần đúng với $B$ đồng dạng nào đó của $A$ thì nó cũng sẽ đúng với $A$. Cơ mà chắc không cần?! Chỉ cần lấy $C$ sao cho $I_n+C$ là ma trận tam giác trên và $A-C$ là ma trận tam giác dưới và chúng có tích hệ số đường chéo (tức định thức của chúng) khác $0$

Em xin cảm ơn. Anh/chị có thể làm rõ dòng thứ 5: "Tương tự với lấy $B$ đồng dạng, chỉ cần đúng với $B$ đồng dạng nào đó của $A$ thì nó cũng đúng với $A$"
Em làm như thế này ổn không:
Do $C$ khả nghịch nên đặt $M=H^{-1}CH$ khả nghịch và $B=H^{-1}AH$ đồng dạng A. Ta có: $det(B-M)=detH^{-1}.det(A-C).detH\neq 0$. Vậy $A-C$ khả nghịch.

Em có đọc tài liệu có bổ đề sau:

"Cho K là trường có số phần tử khác 2. Giả sử $A\epsilon M_n(K)$ và $P\epsilon M_n(K))$. Khi đó, nếu $P\epsilon GL_n(K)$ thì tồn tại ma trận $C\epsilon GL_n(K)$ sao cho cả hai ma trận $A-C$ và $C+P$ đều khả nghịch."

 Trong phần chứng minh có nói: không mất tính tổng quát, giả sử $P=I_n$ nên chỉ cần chứng minh $C+I_n$ khả nghịch và trong trường hợp số phần tử trường $K=3$ thì thay ma trận $A$ bởi ma trận $B$ đồng dạng với nó nên chỉ cần chứng minh $B-C$ khả nghịch, phần này em chưa hiểu lắm. Nhờ anh chị nào biết xin chỉ giùm. Xin cảm ơn!

Trong một miền chính các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan cực đại, bất khả quy là tương đương nhau. Do đó từ ý a, ta chỉ cần chứng minh 7 là bất khả quy trong $\mathbb{Z}[i].$ Số 7 là khả quy tương đương với tồn tại $a,b \in \mathbb{Z}[i]$ không phải phần tử khả nghịch sao cho 

$$7=ab.$$

Lấy chuẩn hai vế (tổng các bình phương), ta được

$$49=N(a)N(b),$$ 

nên N(a)=N(b)=7, mâu thuẫn (không tồn tại các số nguyên $x,y$ sao cho $x^2+y^2=7$).

 

Ý c, ta chứng minh $1,i$ tạo thành cơ sở của $\mathbb{Z}[i]/(7)$ trên $\mathbb{Z}/7$. Điều này tương đương với $7|a+bi$ thì $7|a,b,$ rõ ràng là đúng vì $1,i$ là một cơ sở của $\mathbb{Z}[i].$ Do đó đáp số là 49 ($\mathbb{Z}[i]/(7)$ là không gian 2-chiều trên $\mathbb{Z}/7$).

Giúp mình câu 1b,c; câu 2 b,c với!!!

Câu 1b mình thấy thế này bạn xem thử đúng ko?

$f\left ( x \right )=g\left ( x \right )+3k$

với $g\left ( 0 \right )=0 nên$

$f\left ( x \right )=x.h\left ( x \right )+3k,k\in \mathbb{Z}$

nên kết luận luôn I là idean sinh bởi x và 3 được không?

Có ai không, giúp với 

Câu 1: $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )+3k,k\in \mathbb{Z}$, tới đây mình làm được câu a còn câu b,c ko biết làm

Câu 2:$f\left ( x \right )=\left ( x-a \right ).g\left ( x \right )$ ,tới đây mình làm được câu a còn câu b,c ko biết làm

Câu 3: Câu b, c ko làm được.

Mọi người làm giùm câu b,c. Phần chứng minh vành thương là trường chứng minh bằng cách chứng minh I là Idean tối đại, phần chứng minh đẳng cấu xây dựng ánh xạ giùm. Mình nghĩ được hướng đi mà ko làm được!. Xin cảm ơn mọi người nhiều mình đang rất cần!

Bài 1: Trong vành $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$xét tập con:$I= \left \{ f\left ( x\ \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ] |f\left ( 0 \right )\vdots 3\right \}$

a) Chứng minh rằng: I la idean cua vành $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$

b) Chứng minh I là idean sinh bởi x và 3.$\left ( I=< x,3> \right )$

c) Chứng minh rằng vành thương $\mathbb{Z}\left [ x \right ]/I$ là trường. Tính số phần tử của trường này.

Bài 2: Cho A là miền nguyên, $a\in A,A\left [ x \right ]$ là vành các đa thức với hệ số thuộc A. Kí hiệu:$I=\left \{ f\left ( x \right )\in A|f\left ( a \right )=0 \right \}$

a) Chứng minh rằng: I la idean cua vành $A\left [ x \right ]$

b) Chứng minh I là idean chính. Tìm số phần tử sinh của I.

c) Chứng minh vành thương $A\left [ x \right ]/I$đẳng cấu với A.

Bài 3 : Cho $\mathbb{Z}\left ( i \right )=\left \{ a+bi|a,b\in \mathbb{Z} \right \}$

a) Chứng minh$\mathbb{Z}\left ( i \right )$ là vành Euclide

b) Gia sử $I=< 7>$ là idean chính sinh bởi $7\in \mathbb{Z}\left ( i \right )$Chứng minh vành thương $\mathbb{Z}\left ( i \right )/I$ là trường.

c) Tính số phần tử của trường$\mathbb{Z}\left ( i \right )/I$

Về nhóm thương, vành thương, trường thương.

Mình chưa hiểu rõ lắm. Nhờ mọi người lấy ví dụ một cách cụ thể về 3 cái trên. Xin cảm ơn nhiều!!!