loolo

Nguồn: page Toán học Bắc Trung Nam

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa $a+b+c=2$. Chứng minh: $\sqrt{a+b-2ab}+\sqrt{b+c-2bc}+\sqrt{a+c-2ac}\geq 2$. 

Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ sao cho $pq\mid p^{p}+q^{q}+1$

Cho các số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 & & \end{matrix}\right.$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}$

Cho đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn tâm (O). Kẻ $OA\perp (d)$. Trên (d) lấy A và B sao cho AB=AC. Qua B và C vẽ 2 cát tuyến tùy ý, lần lượt cắt (O) tại các điểm M,N và P,Q tương ứng. Gọi R,S là giao điểm của các đường thẳng NP và MQ với (d). Chứng minh AS=AR