Câu 1
a) Mũ $3$ lên ta thu đc
$x^3=14+3.\sqrt[3]{(7-5\sqrt{2})(7+5\sqrt{2})}(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})=14-3x\Rightarrow x^3+3x-14=0$
Do đó ta có đpcm
b)
ĐK $x\leqslant 1$
Ta có $PT\Leftrightarrow \frac{x}{1+\sqrt{1-x}}.\sqrt[3]{2-x}=x$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 & \\ \sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x} & \end{bmatrix}$
Với $\sqrt[3]{2-x}=1+\sqrt{1-x}$
Ta có BĐT $1+\sqrt{1-x} \geqslant \sqrt{1+1-x}=\sqrt{2-x}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{2-x}\geqslant \sqrt{2-x}\Rightarrow 1\geqslant 2-x\Rightarrow x\geqslant 1$
suy ra $x=1$
Vậy $x=0;1$
Câu 2b
Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\Rightarrow x+y+z=1$
BĐT cần chứng minh trở thành
$(x+y)(y+z)(z+x)\leqslant \frac{1}{8}\begin{bmatrix} (x+y)+(x+z) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (y+z)+(y+x) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (z+x)+(z+y) \end{bmatrix}$
Áp dụng BĐT Cô si
$(x+y)+(x+z)\geqslant 2\sqrt{(x+y)(x+z)}$
Tương tự $(y+z)+(y+x)\geqslant 2\sqrt{(y+z)(y+x)}$
$(z+x)+(z+y)\geqslant 2\sqrt{(y+z)(z+x)}$
$\Rightarrow VP\geqslant 8\sqrt{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}=8(x+y)(y+z)(x+z)=VT$
Vậy ta có đpcm
sao lại chuyển đk thành $(x+y)(y+z)(z+x)\leqslant \frac{1}{8}\begin{bmatrix} (x+y)+(x+z) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (y+z)+(y+x) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} (z+x)+(z+y) \end{bmatrix}$