ThachAnh

a,b dương không bạn ,,,nếu a=b=-3 thì bdt sai 

có dương bạn ạ.

Bài 8: Cho $x,y,z\geq 0 ; x+y+z=1.$

CM: $xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$

Bài toán này có 2 cách "gần gũi" với học sinh THCS hơn, mình xin được bổ sung ^^

Cách 1 : Ta có bđt cơ bản: (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y) $\leq$ xyz <=> (1-2x)(1-2y)(1-2z) $\leq$ xyz 

Mặt khác: $xyz\leq \frac{(x+y+z)^{3}}{27}=\frac{1}{27} => (1-2x)(1-2y)(1-2z)$

<=> 1+4(xy+yz+xz)-2(x+y+z)-8xyz $\leq \frac{1}{27}$ => $xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{7}{27}$ (đpcm)

Cách 2: Trong 3 số $x-\frac{1}{3}; y-\frac{1}{3}; z-\frac{1}{3}$ tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Giả sử đó là:$ x-\frac{1}{3}; y-\frac{1}{3}$

ta có: $(x-\frac{1}{3})(y-\frac{1}{3})\geq 0$ => $xy+\frac{1}{9}\geq \frac{1}{3}(x+y) => xyz+\frac{z}{9}\geq \frac{1}{3}z(x+y) => -2xyz\leq \frac{2z}{9}-\frac{2}{3}z(x+y)$ 

=> $xy+yz+zx-2xyz \leq \frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(x+y)+xy$

Mà: $\frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(x+y)+xy\leq \frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(x+y)+\frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{2}{9}z+\frac{1}{3}z(1-z)+\frac{1}{4}(1-z)^{2}=-\frac{1}{12}(z-\frac{1}{3})^{2}+\frac{7}{27}\leq \frac{7}{27}$

=> ĐPCM 

Bạn ơi, tớ bổ sung một chút, cái đề của bạn thiếu dữ kiện a,b,c $\geq$ 1

Vì nếu a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] thì cái dấu của bđt sẽ đổi ngược lại 

Cho a,b,c không âm.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

Bằng phương pháp biến đổi tương đương, ta dễ dàng cm được bđt cơ bản sau: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ (với $xy\geq 1$)

Áp dụng vào bài toán ta có: $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$ (1)

$\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{c^{4}ab}}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}+\frac{1}{1+abc}\geq \frac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}+\frac{2}{1+\sqrt{c^{4}ab}}\geq 2.\frac{2}{1+abc}$

=> $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{abc+1}$ (đpcm)

Bổ sung đoạn cuối Vì: xy+yz+xz= 9/4