mathsomega

Đóng góp:

BÀI 39:(2017)(MÌnh ko rõ nguồn)

Cho X1,X2,...,Xn>0 (n>2).Dat

^{P/S: Hiện tại mình vẫn chưa giải ra.}

Tiếp tục : 

 

Bài 36 : [Mongolia 2007]

 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}}$

Bổ đề:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{\sqrt{3.(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}{\sqrt[3]{abc}}$

C/m: Không mất tính tổng quát, chuẩn hoá abc=1, bổ đề tương đương với:

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2} \geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{2a}{c}) \geq 3.\sum a^{2}$

Bđt cuối hiển nhiên đúng theo AM-GM với abc=1

Áp dụng bổ đề trên cùng với bđt sau, ta có đpcm.

$ab+bc+ca \geq \sqrt[3]{(abc)^{2}}$ (AM-GM)

(P/S:Giờ mình mới để ý là có người sửa rồi)

 

• Bài 27: [Belarus 1998]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

$\sum \frac{a}{b}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

 

bất đẳng thức cần cm tương đương với

 

• Bài 22 : [Ukraine 1992]

Cho $a\geq b\geq c>0$. Chứng minh rằng : 

$\frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\geq 3a-4b+c$

• Bài 23 : [IMO Shortlist 1993]

Cho a, b, c, d là các số thực dương . Chứng minh rằng : 

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$

• Bài 24 : [Italia 1993]

Cho a, b, c $\in [0,1]$. Chứng minh rằng : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$

 

• Bài 25 : [Poland 1993] 

Cho x, y, u, v > 0. Chứng minh rằng : 

$\frac{xy+xv+yu+uv}{x+y+u+v}\geq \frac{xy}{x+y}+\frac{uv}{u+v}$

 

Bài 23:

Theo bđt Bunhiacopski và bđt Cauchy, ta có:

$3\left ( \sum a \right )^2\geq 8\sum ab (1)$

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^2}{\sum 4ab}\geq \frac{2}{3}$

(do (1)) (đpcm)

Các bạn nên đọc kĩ phần chú ý của topic nhé
Gõ latex. Đây cũng là nội quy chung của diễn đàn trong 24h tới các bạn không sử bài mình sẽ báo cáo hết
Mong các bạn tuân thủ.