Đến nội dung

NTA1907

NTA1907

Đăng ký: 30-11-2015
Offline Đăng nhập: 05-08-2018 - 18:54
****-

#685717 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Gửi bởi NTA1907 trong 27-06-2017 - 11:29

Bài 210: $\sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \dfrac{1}{x^{2}}} = 4 - (x + \dfrac{1}{x})$
Bài 211**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

 

Spoiler




#681988 Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF

Gửi bởi NTA1907 trong 26-05-2017 - 11:20

Bài 118: Giải phương trình:

$4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

 

Spoiler




#681895 cho x, y, z >0; $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=...

Gửi bởi NTA1907 trong 25-05-2017 - 13:18

cho x, y, z >0; $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$

cmr $\frac{3yz}{x}+\frac{4xz}{y}+\frac{5xy}{z}\geq 4$

Hình như đề gõ nhầm...m đã sửa ở trên.

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}=\left ( \frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \right )+2\left ( \frac{yz}{x}+\frac{xy}{z} \right )+3\left ( \frac{xy}{z}+\frac{zx}{y} \right )\geq 2z+2.2y+3.2x=2(z+x)+4(x+y)\geq 2.2\sqrt{zx}+4.2\sqrt{xy}=4$

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$




#672485 cho a,b,c>0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3. chứng minh $\frac{ab...

Gửi bởi NTA1907 trong 23-02-2017 - 14:19

cho a,b,c>0 thỏa a2 + b2 + c2 = 3. chứng minh $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 3$

Ta có:
$\left ( \dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b} \right )^{2}=\dfrac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}a^{2}}{b^{2}}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \sum \frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9$
$\Rightarrow$ đpcm




#671306 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi NTA1907 trong 12-02-2017 - 19:09

Bài 554: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{5-x^{2}}+\sqrt{5-\dfrac{1}{x^{2}}}=3+y^{2} \\ &x+\dfrac{1}{x}=2(3-2y) \end{matrix}\right.$




#671291 $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}...

Gửi bởi NTA1907 trong 12-02-2017 - 16:50

Anh không dùng lượng giác thì còn cách nào không ạ

Vì bài này có nghiệm xấu nên lượng giác sẽ là hướng tiếp cận tối ưu nhất cho bài toán.




#671272 $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}...

Gửi bởi NTA1907 trong 12-02-2017 - 14:30

Giải phương trình $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}$.

Đặt $x=2cos\alpha ,\alpha \in \left [ \frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]$
Khi đó phương trình trở thành:
$2cos\alpha =\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2(1+cos\alpha )}}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2.2cos^{2}\frac{\alpha }{2}}}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2+\sqrt{2(1-cos\frac{\alpha }{2})}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2+\sqrt{2.2sin^{2}\frac{\alpha }{4}}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2(1+sin\frac{\alpha }{4})}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2(sin\frac{\alpha }{8}+cos\frac{\alpha }{8})^{2}}$
$\Leftrightarrow 2cos\alpha =\sqrt{2}.\sqrt{2}cos\left ( \frac{\alpha }{8}-\frac{\pi }{4} \right )$
$\Leftrightarrow cos\alpha =cos\left ( \frac{\alpha }{8}-\frac{\pi }{4} \right )$
...



#670989 $u_{n+1}=u_{n}^{2}-u_{n}+1$

Gửi bởi NTA1907 trong 10-02-2017 - 13:35

Cho dãy số $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} &u_{1}=2 \\ &u_{n+1}=u_{n}^{2}-u_{n}+1, n\geq 1 \end{matrix}\right.$

Tìm CTTQ của $u_{n}$




#670618 Tìm max : M=$(a+b+c)^{3}-(a+b+c)+6abc$

Gửi bởi NTA1907 trong 07-02-2017 - 12:38

Cho a,b,c là 3 số thực không âm và thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm max :

   M=$(a+b+c)^{3}-(a+b+c)+6abc$

$M=(a+b+c)\left [ (a+b+c)^{2}-1 \right ]+6abc\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\left [ 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-1 \right ]+6\sqrt{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}}{27}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$



#670399 Max $P=\sum \frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+...

Gửi bởi NTA1907 trong 29-01-2017 - 22:54

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

$P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}$

Ta có:
$5a^{2}+2ab+2b^{2}=(2a+b)^{2}+(a-b)^{2}\geq (2a+b)^{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{5a^{2}+2ab+2b^{2}}}\leq \sum \frac{1}{2a+b}\leq \frac{1}{9}\sum \left ( \frac{2}{a}+\frac{1}{b} \right )=\frac{1}{3}\sum \frac{1}{a}\leq \frac{1}{3}\sqrt{3\sum \frac{1}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$



#670193 $lim2^{n}\sqrt{2-u_{n}}$

Gửi bởi NTA1907 trong 27-01-2017 - 23:48

Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn điều kiện: $u_{1}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}$ với mọi $n=1,2,...$. CMR: Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn và tìm $lim2^{n}\sqrt{2-u_{n}}$




#670165 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi NTA1907 trong 27-01-2017 - 19:59

Bài 553: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2x+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{16}{3} \\ &2(x^{2}+y^{2})+\dfrac{1}{(x+y)^{2}}+\dfrac{1}{(x-y)^{2}}=\dfrac{100}{9} \end{matrix}\right.$



#669886 $\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2$

Gửi bởi NTA1907 trong 25-01-2017 - 15:56

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+x-1}+\sqrt{x-x^{2}+1}=x^{2}-x+2$

ĐK: $x^{2}+x-1\geq 0,x-x^{2}+1\geq 0$
Áp dụng AM-GM:
$1.\sqrt{x^{2}+x-1}+1.\sqrt{x-x^{2}+1}\leq \frac{1+x^{2}+x-1}{2}+\frac{x-x^{2}+1+1}{2}=x+1$
$\Rightarrow x^{2}-x+2\leq x+1$
$\Leftrightarrow (x-1)^{2}\leq 0\Leftrightarrow x=1$(thoả mãn)



#669735 Cho a+b+c=12. Chứng minh : $\sum \sqrt{a^2+8}\g...

Gửi bởi NTA1907 trong 24-01-2017 - 20:04

Cho a+b+c=12. Chứng minh : $\sum \sqrt{a^2+8}\geq 6\sqrt{6}$

Cách khác...

Áp dụng Min-cốp-xki ta có:

$\sum \sqrt{a^{2}+8}\geq \sqrt{\left ( \sum a \right )^{2}+\left ( 3.2\sqrt{2} \right )^{2}}=6\sqrt{6}$




#669681 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi NTA1907 trong 24-01-2017 - 12:54

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 485: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

 

ĐK: $x^{3}-y\geq 0, x\neq 0,x\neq \dfrac{1}{4},x\neq -1$

Đặt $\sqrt{x^{3}-y}=t, t\geq 0 \Rightarrow y=x^{3}-t^{2}$

Khi đó từ PT(1)$\Rightarrow t=\dfrac{2(x^{3}-t^{2})}{x(4x-1)}$

$\Leftrightarrow tx(4x-1)=2(x^{3}-t^{2})$

$\Leftrightarrow (2x^{2}+t)(x-2t)=0$

...

 

Spoiler