minhthong29

1) Dãy này chặn trên bởi $\frac{15}{2}$(quy nạp) và là dãy tăng.

2)$u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n+1}$.Dãy này chặn dưới bởi $1$ và là dãy giảm,bắt đầu từ $u_2$

3)Dãy này bị chặn trên bởi $2$(quy nạp) và là dãy tăng.

sao anh lại làm lung tung thế :v bài 1 là dãy giảm,  bài 2 dãy không là tăng không là giảm, bài 3 thì là dãy bất biến mà 

thang điểm năm nay sẽ là 

3-4 kk

5-6 ba 

7-8 nhì 

9 nhất nhé 

mình áng áng thế thôi vì hn mới công bố giải chưa báo điểm đâu

 Áp dụng bđt Cauchy-Swarchz ta có:
$(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}})^{2}\leq 2(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}})$
Ta quy bài toán về chứng minh$ \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \leq \frac{2}{1+xy}$
 Tuy nhiên bđt trên  $\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\geq 0$ (luôn đúng vì $xy \geq 1$)

Ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$