Sergio BusBu

PT $2x^{4}+3x^{2}+1=0$ thì khỏi nói cũng biết là vô nghiệm

PT $2x^{4}+3x^{2}+1=y^{2}$ giải theo denta:

PT <=> $2x^{4}+3x^{2}+(1-y^{2})=0$

Ta có: $\Delta =9-8(1-y^{2})=y^{2}+1$

PT có nghiệm nguyên <=> $\Delta$ là số chính phương

                                    <=> $y^{2}+1$ là số chính phương

Đặt $y^{2}+1=k^{2}$ (k là số tự nhiên)

Đến đây chuyển vế thành dạng tích giải ra y => có đc x

Ta có:

Pt <=> $\frac{x(x+1)}{2}=111y$

    <=> $x(x+1)=222y$

=> $x(x+1) \vdots 37$ và $x(x+1)\vdots 3$

Mà  $14\leq x\leq 44$

=> x=36

Bạn xem lại thử sai ở đâu ko vì kq là: Đáp án: 3668967

M quên chưa tính những cái tam giác gọi là tam giác "ngược"...

 

Tháp tam giác là hình tam giác đều lớn cấu thành từ nhiều tam giác với nhiều tầng. Hỏi tháp tam giác với độ cao là 244 có bao nhiêu hình tam giác. Ví dụ:

Tháp tam giác độ cao là 2 có 5 tam giác.

Tháp tam giác có độ cao là 3 có 13 tam giác.

 

Theo như ảnh thì b học toán MTCT nên đầu tiên ta tìm ra quy luật rồi chỉ việc bấm máy!!!

Ta có: Với độ cao là 1 => số tam giác là: 1 

           Với độ cao là 2 => số tam giác là: (1+3)+1

           Với độ cao là 3 => số tam giác là: (1+3+5)+(1+2)+1

           Với độ cao là 4 => số tam giác là: (1+3+5+7)+(1+2+3)+(1+2)+1

           Với độ cao là 5 => số tam giác là: (1+3+5+7+9)+(1+2+3+4)+(1+2+3)+(1+2)+1

Từ đây có thể suy ra quy luật => với độ cao là 244 thì số tam giác là:

(1+3+...+487)+(1+2+...+243)+(1+2+...+242)+...+(1+2)+1=$\frac{(487+1)*244}{2}+\frac{244*243}{2}+\frac{243*242}{2}+...+\frac{3*2}{2}+\frac{2*1}{2}$

                                                                                        =59536+$\sum_{1}^{243}\frac{x(x+1)}{2}$

                                                                                        =59536+2421090

                                                                                        =2480626

Cho đường tròn (O) đường kính AB . Vẽ đường tròn (O') đường kính OA.   Trên tia OB lấy điểm H sao cho OH=OB/3.

Từ H kẻ dây CE vuông góc với OB,  AC cắt đường tròn (O') tại D

a) Chứng minh: DA=DC

b) Vẽ tiếp tuyến Bx với (O') và Cy với (O)

     Chứng minh:Bx // Cy

c)  Chứng minh:  BD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

 

*Lưu ý: Bạn nào làm được thì  chứng minh 3 câu luôn nhé !!

a) Xét (O), ta có:

C$\epsilon$(O) đường kính AB(gt) => $\angle$ACB=90$^{\circ}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

CMTT=> $\angle ADO=90^{\circ}$

=> OD // BC

Xét $\Delta ABC$ => $\frac{OA}{OB}=\frac{DA}{DC}=1$ (Định lí Ta-lét)

=> DA=DC

b)Gọi tiếp điểm của Bx với (O') là D'

=> O'D'$\perp$Bx (t/c tiếp tuyến)

Ta có: O'D'=$\frac{OA}{2}=\frac{OC}{2}$

=> $\frac{O'D'}{OC}=\frac{O'A}{OA}=\frac{1}{2}$

=> O'D'//OC(Định lí Ta-lét đảo) (1)

=> OC$\perp$BD'

Mà OC$\perp$Cy (t/c tiếp tuyến)

=>BD'//Cy hay Bx//Cy

c)Từ (1)=> D'A=D'C => D trùng D' => ĐPCM

Cho các số dương $a$,$b$. Chứng minh:

$2(a^{4}+b^{4})\geqslant ab^{3}+a^{3}b+2a^{2}b^{2}$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$a^{4}+a^{4}+a^{4}+b^{4}\geq 4a^{3}b$

$b^{4}+b^{4}+b^{4}+a^{4}\geq 4ab^{3} $

$=> 4(a^{4}+b^{4})\geq 4(a^{3}b+ab^{3})$

$=> a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3}$ (1)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

$a^{4}+b^{4}\geq 2a^2b^2$ (2)

Cộng 2 vế BĐT (1)(2) => Điều phải chứng minh...

Tìm GTLN của:

$Q$= $-3x^{2}+2xy-y^{2}+10x-2y+2014$

Ta có:

Phương trình <=>3Q=$-9x^{2}+6xy-3y^{2}+30x-6y+6042$

                      <=>3Q=$-9x^{2}+6x(y+5)-(y+5)^{2}+(y+5)^{2}-3y^{2}-6y+6042$

                      <=>3Q=$-(3x-y-5)^{2}+y^{2}+10y+25-3y^{2}-6y+6042$

                      <=>3Q=$-(3x-y-5)^{2}-2y^{2}+4y-2+6066$

                      <=>3Q=$-(3x-y-5)^{2}-2(y-1)^{2}+6069$

Từ đây suy ra (3Q)max=6069 => Qmax=2023 <=> x=2;y=1

Cách 2: Pt <=> (8x$^{2}$-$\frac{1}{2}$)+($\sqrt{\frac{1}{x}}$-2)=0

Xong dùng liên hợp rồi đánh giá nhân tử thứ 2 lớn hơn 0 qua ĐKXĐ!!!

Pt <=> 16($\sqrt{x}$)^5+2=5$\sqrt{x}$ (ĐKXĐ:x>0)

    <=> 16($\sqrt{x}$)^5-5$\sqrt{x}$+2=0

    <=> $(2\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2$(4$\sqrt{x^{3}}$+4$\sqrt{x^{2}}$+3x+2)=0

Dựa vào ĐKXĐ để chứng minh 4$\sqrt{x^{3}}$+4$\sqrt{x^{2}}$+3x+2>0

=> Phương trình có nghiệm duy nhất x=1/4

Ta có: A là số chính phương

=> A:4 dư 0 hoặc 1

=> 3^n+27 : 4 dư 0 hoặc 1

=> 3^n : 4 dư 1 hoặc 2 (vì 27:4 dư 3)

Mà 3^n lẻ => 3^n chia 4 dư 1

=> 3^n=2k (k thuộc N)

=>A=3^2k+27=t^2 (t thuộc N)

=>t^2-3^2k=27

=>(t-3^k)(t+3^k)=27

Mà t>3^k

Đến đây chia 2 TH xong giải ra => n=2

Gọi I,K lần lượt là trung điểm PB,PC. 

=>MI=IB=IP (Định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Xét $\Delta$PBC =>DK là đường trung bình =>DK=IB=IP=MI (1)

Xét $\Delta$MIB cân tại I (IM=IB), ta có: $\angle$IMB=$\angle$IBM

Ta có: $\angle$MIP=$\angle$IMB+$\angle$IBM (Định lí góc ngoài tam giác)

=>$\angle$MIP=2$\angle$IBM

CMTT  +ID=NK=KP=KC (2)

            +$\angle$NKP=2$\angle$NCK 

Mà $\angle$IBM=$\angle$NCK (gt) =>$\angle$MIP=$\angle$NKP

Ta có: Tứ giác IPKD là hình bình hành =>$\angle$PID=$\angle$PKD 

=>$\angle$MIP+$\angle$PID=$\angle$NKP+$\angle$PKD

=>$\angle$MID=$\angle$NKD (3)

Từ (1)(2)(3)=> $\Delta$MID=$\Delta$DKN (c.g.c)

=> DM=DN