nguyenquangvuong99

ta đặt x=1/a, y=1/b, z=1/c 

khi đó $\frac{y^{2}}{x^{3}.(3y^{2}+1)}$ = $a^{3}/(b^{2}+3)$. thế vào là ra à. ở dưới mẫu rút gọn được b^{2}.

tương tự ta có : $\frac{z^{2}}{y^{3}.(3z^{2}+1)}$ = $b^{3}/(c^{2}+3)$ 

                $\frac{x^{2}}{z^{3}.(3x^{2}+1)}$ = $c^{3}/(a^{2}+3)$

ta lại có :với cách đặt trên thì: ab+bc+ca=3.  

nên BDT cần chứng minh tương đương : $a^{3}/(b^{2}+3)$ + $b^{3}/(c^{2}+3)$ + $c^{3}/(a^{2}+3)$ $\geq$ 3/4

ta dể dàng có được  : $\frac{a^{3}}{b^{2}+3}$ + $frac{b^{3}}{c^{2}+3}$ + $\frac{c^{3}}{a^{2}+3}$ = $\frac{a^{3}{(b+c)(b+a)}$ + $\frac{b^{3}}{(c+a)(c+b)}$ + $\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$

ta có : $\frac{a^{3}{(b+c)(b+a)}$ + $\frac{b+c}{8}$ + $\frac{b+a}{8}$ \geq  $\frac{3a}{4}$

tương tự : $\frac{b^{3}}{(c+a)(c+b)}$ + $\frac{b+c}{8}$ + $\frac{c+a}{8}$ \geq  $\frac{3b}{4}$

  $\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$ + $\frac{a+c}{8}$ + $\frac{b+a}{8}$ \geq  $\frac{3c}{4}$ 

cộng vế theo vế suy ra được $\frac{a^{3}{(b+c)(b+a)}$ + $\frac{b^{3}}{(c+a)(c+b)}$ + $\frac{c^{3}}{(a+b)(a+c)}$ \geq   $\frac{a+b+c}{4}$ . mà $(a+c+b)^{2}\geq 3.(ab+bc+ac)$ suy ra a+b+c \geq 3 

vậy bất đẳng thức được chứng minh

đặt x=tan A, y= tan B, z= tan C.

Thế vào phương trình (2) dể dàng suy ra đc A+B+C= \coprod /2

khi đó ta có 3(x+\frac{1}{x}) = 3(tan A + \frac{1}{\tan A})= \frac{3}{\cos ^{2}.tan A} = \frac{3}{\sin A.\cos A   }

tương tự ta có: 4(y+\frac{1}{y})= \frac{4}{\sin B.\cos B}, \frac{5}{z+\frac{1}{z}} = \frac{5}{\sin C.\cos C}

dể dàng suy ra được \frac{3}{sin 2A}= \frac{4}{sin 2B}= \frac{5}{sin 2C}. 

ta có : \frac{3}{sin 2A}= \frac{4}{sin 2B}= \frac{5}{sin 2C} và 2A+2B+2C=180 

theo định lý sin thì suy ra đc 3 4 5 là độ dài của tam giác ABC và tam giác đó vuông tại C.

suy ra \angle C = \prod / 2. . dể dàng thấy được tan 2B= \frac{4}{3} suy ra tan B = \frac{1}{2}. tương tự suy ra tan A = \frac{1}{3}. vậy có nghiệm  x, y, z. mà vì nếu x, y, z, là nghiêm thì -x, -y, -z cũng là nghiệm. giải quyết xong