Find content
Not Telling
Bài này up rồi nhưng không ai giúp được hết. Nên giờ up lại cho nó mới. Nhưng giờ mình làm được rồi nên sửa lại và up chứng minh luôn, nếu bạn nào cần thì sử dụng.
Bổ đề 1. Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:
${(a+b)^2} \leqslant (1+k){a^2} + \left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} \;,\; \forall k >0$
Chứng minh:
${(a + b)^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt k a\frac{b}{{\sqrt k }} \leqslant {a^2} + {b^2} + k{a^2} + \frac{{{b^2}}}{k} = (1 + k){a^2} + \left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} \; , \; \forall k>0$
Bổ đề 2. Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:
${(a + b + c)^2} \leqslant 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){a^2} + 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} + (1 + k){c^2} \;, \; \forall k >0$
Chứng minh:
${(a + b + c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac$
$\leqslant {a^2} + {b^2} + {c^2} + {a^2} + {b^2} + 2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt k }}b} \right)\left( {\frac{{\sqrt k }}{{\sqrt 2 }}c} \right) + 2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt k }}a} \right)\left( {\frac{{\sqrt k }}{{\sqrt 2 }}c} \right)$
$\leqslant 2{a^2} + 2{b^2} + {c^2} + \frac{2}{k}{b^2} + \frac{k}{2}{c^2} + \frac{2}{k}{a^2} + \frac{k}{2}{c^2}$
$= 2{a^2} + \frac{2}{k}{a^2} + 2{b^2} + \frac{2}{k}{b^2} + {c^2} + k{c^2}$
$= 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){a^2} + 2\left( {1 + \frac{1}{k}} \right){b^2} + (1 + k){c^2} \;,\; \forall k >0$
- NTA1907 likes this
