motcongmotlonhon2

Biết a, b, c là 3 số thực dương khác 0 và tm abc=1.  CMR

 $\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geqslant \frac{3}{4}$

Quy đồng trức tiếp ta cần cm $:$

$ a+b+c +ab+bc+ac \geq 6$ . Bất đẳng thức hiển nhiên đúng theo $AM-GM$

Ta có $: a+b+c\geq \frac{9}{a+b+c} \Rightarrow a+b+c\geq 3 $ 

Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ cho hai bộ đơn điệu cùng chiều  ta có $:$

$\sum a(a^{4}-1) \geq \frac{1}{3} * (\sum a)(\sum a^{4}-1)\geq 0$

Vì $ : 27\sum a^{4} \geq (a+b+c)^{4} \Rightarrow \sum a^{4} \geq 3 $

$(a^{2},b^{2},c^{2} ) \rightarrow (a,b,c) $.

Lúc này ta cần tìm min của $:M=\sum\frac{a}{\sqrt{b}} $ và ta có $a+b+c\geq 1$

Áp dụng bđt $AM-GM$ ,ta cần chứng minh $:$

$M=\sum\frac{a}{\sqrt{b}} \geq \sum\frac{\frac{2a}{\sqrt{3}}}{b+\frac{1}{3}}\geq \sqrt{3} (1)$

$(1) \Leftrightarrow \sum\frac{a}{3b+1} \geq \frac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta được $:$

$\sum\frac{a}{3b+1} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ac)+a+b+c} \geq \frac{1}{2} $

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ac) +a+b+c$ 

Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì   $:$

$$(a+b+c)^{2} \geq 3(ab+bc+ac) $$

$$(a+b+c)^{2}\geq a+b+c $$

Đã sửa dấu , Sao lại không xảy ra vậy?

 

2)Cho $0<x,y,z<1$ và $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$

Tìm Min $P=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}$

Chia cả hai vế cho $xyz$ ta được $: 1=\left(\frac{1}{x}-1\right) \left(\frac{1}{y}-1\right)\left( \frac {1}{z}-1\right)$ 

Đặt $: (\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})=(a;b;c) $ . Ta được $:$

$ P= a+b+c+ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}$  và  $1=(a-1)(b-1)(c-1)$

$\Rightarrow  1 \leq \left(\frac{a+b+c-3}{3}\right)^3 \Leftrightarrow a+b+c \geq 6 ((a-1),(b-1),(c-1)>0)$

Mà $ : P\geq a+b+c +\frac{9}{a+b+c} $

Đặt $:a+b+c=t => P \geq \frac{t}{4} +\frac{9}{t} +\frac{3t}{4} \geq \frac{15}{2} $

Đẳng thức xảy ra khi $:a=b=c \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$