Black Pearl

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Thái Bình 2016-2017

Câu 1.(3,0 điểm) Cho $2x=\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}+1}$

                          Tính $P=\sqrt{\frac{x^4-2x^3+4x^2-12x-11}{2x^2-6x+2}}$

Câu 2.(3,0 điểm) Cho hai hàm số: $y=(m^2+2)x-m^3-3m+1$ và $y=x-2m+1$ có đồ thị lần lượt là $d_{1},d_{2}$. Gọi $A(x_{0},y_{0})$ là giao điểm của $d_{1},d_{2}$

a) Tìm tọa độ điểm $A$

b) Tìm $m$ nguyên để biểu thức $T=\frac{x_{0}^2+3x_{0}+3}{y_{0}^2-3y_{0}+3}$ nhận giá trị nguyên 

Câu 3.(4,0 điểm)

1) Giải phương trình: $2x^2-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$

2) Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{matrix} 2x^2y^2+x^2y-xy-x-1=0\\ x^2y^2-x^2y+6x^2-x-1=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác $MNP$ cân tại $P$ . Gọi $H$ là trung điểm của $MN$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $PM$. Dựng đường thẳng qua $P$ vuông góc với $NK$ và cắt $HK$ tại $I$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của $HK$.

Câu 5.(4,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông cân tai $A$. Trên tia đối tia $AC$ lấy điểm $M$ sao cho $0<AM<AC$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$, $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $BC$, $MK$ cắt $AB$ tại $H$. Gọi $E$,$F$ lần lượt là trung điểm của $CH$ và $BM$

a) Chứng minh rằng tứ giác $AFKE$ là hình vuông

b) Chứng minh rằng $AK$,$EF$,$OH$ đồng quy

Câu 6.(2,0 điểm) Tìm số nghiệm nguyên dương $(x;y)$ của phương trình $x^2-y^2=100.110^{2n}$ với $n$ là số nguyên dương cho trước. Chứng minh rằng số nghiệm này không thể là số chính phương

Câu 7.(2,0 điểm)Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ac(a^3+b^3)}$

1. $\left\{\begin{matrix} x^2+(x+y)y+2=9y\\ x+y-7=\frac{y}{x^2+2} \end{matrix}\right.$

2. $2x^2-2x+1=2x\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{2x^2+1}$

1. $\triangle ABC$ cân tại $A$. $D$ chuyển động trên $BC$. $r_{1},r_{2}$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle ABD, \triangle ACD$. xác định vị trí điểm $D$ để $r_{1},r_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất

2.  $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O;R)$ cho trước. Xác định dạng $\triangle ABC$ để $\frac{1}{m_{a}}+\frac{1}{m_{b}}+\frac{1}{m_{c}}$ min trong đó $m_{a},m_{b},m_{c}$ là đôj dài đg trung tuyến ứng với góc A,B,C

Giải các phương trình, bất phương trình:

1. $x^2-2(x+1)\sqrt{3x+1}=2\sqrt{2x^2+5x+2}-8x-5$

2. $(x-x^2)(x^2+3x+2007)-2005x\sqrt{4-4x}=30\sqrt[4]{x^2+x-1}+2008$

3. $\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}-(x-4)\sqrt{x-7}-3x+28=0$

4. $x=(2004+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}$

5. $\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}+4x=3\sqrt{2}-1$

6. $\sqrt{4x-x^3}+\sqrt{x+x^3}=3\sqrt[4]{3}$

7. $(3-x)\sqrt{x-1}+\sqrt{5+2x}=\sqrt{40-34x+10x^2-x^3}$

8. $\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{2x+1}}+\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$

9.

1. $(x+4)(x+1)-\sqrt{3x^2+5x+2}=6$

2.$\sqrt{x^2+x+7}+\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{3x^2+3x+19}$

3. $\sqrt{x+8-2\sqrt{x+7}}=2-\sqrt{x+1-\sqrt{x+7}}$

4. $\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2-3x+4}=x$

5. $2\sqrt[3]{3x-2}+3\sqrt{6-5x}=8$

6. $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$

7. $1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^2}=3x+1$

8. $x^2+\sqrt[3]{x^4-x^2}=2x+1$

9. $\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^2+4x+1}$

10. $x^2+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

11. $\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=(1+2\sqrt{1-x^2})x$

12. $x^3+\sqrt{(1-x^2)^3}=x\sqrt{2(1-x^2)}$

13. $\sqrt[3]{6x+1}=2x$

 giải pt sau

1. $\sqrt{9x^2-15x+9}+\sqrt{x^3+3x^2-3x+1}+x=2$

2. $\sqrt{-4x^4y^2+16x^2y+9}-\sqrt{x^2y^2-2y^2}=2(x^2+\frac{1}{x^2})$ (với $x>0$)

Giải phương trình

1. $x=\sqrt{72-x}.\sqrt{45-x}+\sqrt{45-x}.\sqrt{40-x}+\sqrt{72-x}.\sqrt{40-x}$

Giải các phương trình sau: 

1. $2x^2+2x+\sqrt{x^2+3}+2x\sqrt{x^2+3}=0$

2. $2x^2-5x=\sqrt{2x-5}+\sqrt{4-x}+\sqrt{x-2}$

3. $\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+4\sqrt{17-x}+8\sqrt[4]{17-x}=34$

4. $\sqrt{12-\frac{12}{x^2}}+\sqrt{x^2-\frac{12}{x^2}}=x^2$

5. $\sqrt[3]{-4+4x-x^2}+x\sqrt{x(6-x^2)}+3x=12+\sqrt{2-x}$

6. $x^2-3x+1+\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^4+x^2+1}=0$

7. $\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt{\frac{1}{2}-x}=1$

Cho $x^2+y^2+z^2=1$ Tìm max của $A=xy+yz+2zx$

1.Cho $x,y,z\geq 0$ và không đồng thời bằng 0 thỏa mãn $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=1$ 

CMR: $x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{10}{3}$

2.Cho $x,y,z>0$ CMR: $4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

3.Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$ CMR: $A=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ac}{b+ac}-\frac{1}{4abc}\leq -6$

4.Cho  $a,b>0$ và $a+b\leq 1$

CMR $A=\frac{a^4}{(b-1)^3}+\frac{b^4}{(a-1)^3}\geq -1$

cho $a,b,c,d>0$ 

cmr $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\geq \frac{4}{3}$

2. cho a, b, c>0

cmr $\frac{bc}{a^2b+a^2}+\frac{ab}{ac^2+bc^2}+\frac{ac}{ab^2+b^2c}\geq \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

3. Cho a, b, c>0

và $12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR: $\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Cho $a, b,c >0$ và $a+b+c=2$

cmr $A=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}\leq 4$

4. cho $a, b,c>0$ và $a+b+c=1$

Tìm min $A=\frac{a}{\sqrt{1-a}}+\frac{b}{\sqrt{1-b}}+\frac{c}{\sqrt{1-c}}$

Bài này giải như sau $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}=\frac{d}{t}=\frac{a+b+c+d}{x+y+z+t}=\frac{ax}{x^2}=\frac{by}{y^2}=\frac{cz}{z^2}=\frac{dt}{t^2}=\frac{(a+b+c+d)(x+y+z+t)}{(x+y+z+t)^2}<=>\frac{\sqrt{ax}}{x}=\frac{\sqrt{by}}{y}=\frac{\sqrt{cz}}{z}=\frac{\sqrt{dt}}{t}=\frac{\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}+\sqrt{dt}}{x+y+z+t}=\frac{\sqrt{(a+b+c+d)(x+y+z+t)}}{x+y+z+t}=>đpcm$

Thanh kiu

1.Cho a, b, c, x, y, z $\neq 0$ thỏa mãn x+y+z=2006; $x^2=a+yz$ ; $y^2=b+xz$ ; $z^2=c+xy$

Tính giá trị biểu thức $\frac{ax+by+cz}{a+b+c}$

Cmr: $-x^{3}+x^2\leq \frac{1}{4}$ nếu $0\leq x\leq 1$

2.Cho $\Delta MNP$ có độ dài 3 cạnh thứ tự là m, n, p và $3\widehat{M}+2\widehat{N}=180°$

Cm hệ thức $m^2+np-p^2=0$

1.cmr nếu x+y=1 và $xy\neq 0$ thì

$\frac{y}{x^3-1}-\frac{x}{y^3-1}= \frac{2(x-y)}{x^2y^2+3}$

2.cho a,b,c khác nhau và khác 0 và $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= 0$

Rút gọn biểu thức $N= \frac{1}{a^2+2bc}+ \frac{1}{b^2+2ca}+ \frac{1}{c^2+2ab}$

3.Phân tích đa thức thành nhân tử: $(x^2+3x+2)(x^2+11x+30)- 5$

4.Cho $x^2-2xy+2y^2-2x+6y+13=0$. Tính $N=\frac{3x^2y-1}{4xy}$

5.Tìm x để $x^2+21$ là số chính phương

6.Tìm min của $M=x^2+y^2-xy-x+y+1$

7.Tìm nghiệm nguyên của: $3x^2+5y^2=345$

8.Giải phương trình: a. $\left | x-2002 \right |^{2002}+\left | x-2003 \right |^{2003}$

                                 b. $(x^2-6x+11)(y^2+2y=4)=-z^2+4z+2$

1. Cho $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=0$ . Tính $\frac{x^{2}}{yz}+\frac{y^{2}}{xz}+\frac{z^{2}}{xy}$

2. Cho $\left\{\begin{matrix} 3a^{2}+2b^{2}=7ab & & \\ 3a>b>0 & & \end{matrix}\right.$ . Tính $P=\frac{2005a-2006b}{2006a+2007b}$

3. Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c\neq 0 & & \\ a+b+c=0 & & \end{matrix}\right.$ . Tính $P=\frac{a^{2}}{a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{2}}+\frac{c^{2}}{c^{2}-b^{2}-a^{2}}$

4. Cho $a,b,c$ thỏa mãn : $a\neq -b;b\neq -c;c\neq -a$ . Chứng minh : $\frac{a^{2}-bc}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^{2}-ac}{(b+a)(b+c)}+\frac{c^{2}-ab}{(c+a)(c+b)}=0$