Đến nội dung

IHateMath

IHateMath

Đăng ký: 10-02-2016
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

$1/a+2/b+4/c<1$ với $a,b,c\in\mathbb{Z}^+$

14-08-2017 - 09:58

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}<1$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{4}{c}$ và giá trị nhỏ nhất có thể của $abc$.

 

Nguồn: https://artofproblem...sitive_integers


Sắp thứ tự các đồng xu

14-08-2017 - 09:45

Hai người $A$ và $B$ chơi một trò chơi. $A$ có $20$ đồng xu, cân nặng khác nhau từng đôi một. $A$ biết thứ tự cân nặng của các đồng xu này nhưng $B$ thì không. Ở mỗi lượt chơi, $B$ được chọn ra $10$ đồng tùy ý từ $20$ đồng đó và hỏi $A$ thứ tự cân nặng của chúng (và $A$ phải thành thật trả lời). Hỏi rằng sau ít nhất bao nhiêu lượt chơi $B$ có thể tìm ra được thứ tự của $20$ đồng xu này?

 

Tổng quát lên thành bài toán như sau: Thay $10$ bởi số nguyên dương $n$ bất kỳ và $20$ bởi $2n$. Hãy tìm số lượt chơi ít nhất có thể.

 

Nguồn: https://artofproblem...arrange_coins_a


58th IMO 2017

19-07-2017 - 01:00

Kỳ thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 58

Brazil, 2017

Ngày thi thứ nhất (18/07/2017)

 

 

 

Bài 1Với mỗi số nguyên bất kỳ $a_0>1$, xét dãy số $a_0, a_1, a_2, \dots$ xác định bởi:

$a_{n+1}=\sqrt{a_n}$ nếu $\sqrt{a_n}$ là số nguyên,

$a_{n+1}=a_n+3$ trong trường hợp ngược lại,

với mỗi số nguyên $n\geq 0$.

Hãy xác định tất cả các số $a_0$ sao cho tồn tại số $A$ mà $a_n=A$ với vô hạn số $n$.

 

Bài 2. Kí hiệu $\mathbb{R}$ là tập số thực. Hãy tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x$ và $y$,

$$f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).$$

 

Bài 3Một cô thợ săn và một con thỏ tàng hình chơi trò chơi sau trên mặt phẳng. Điểm xuất phát $A_0$ của con thỏ và điểm xuất phát $B_0$ của cô thợ săn trùng nhau. Sau $n-1$ lượt chơi, con thỏ ở điểm $A_{n-1}$ và cô thợ săn ở điểm $B_{n-1}$. Ở lượt chơi thứ $n$, có ba điều lần lượt xảy ra theo thứ tự dưới đây:

(i) Con thỏ di chuyển một cách không quan sát được tới điểm $A_n$ sao cho khoảng cách giữa $A_{n-1}$ và $A_n$ bằng đúng $1$.

(ii) Một thiết bị định vị thông báo cho cô thợ săn về một điểm $P_n$, đảm bảo khoảng cách giữa $P_n$ và $A_n$ không lớn hơn $1$.

(iii) Cô thợ săn di chuyển một cách quan sát được tới điểm $B_n$ sao cho khoảng cách giữa $B_{n-1}$ và $B_n$ bằng đúng $1$.

Hỏi điều sau đây sai hay đúng: cho dù con thỏ có di chuyển như thế nào và các điểm được thiết bị định vị thông báo có là những điểm nào, cô thợ săn luôn có thể chọn cho mình cách di chuyển sao cho sau $10^9$ lượt chơi, cô ta có thể khẳng định chắc chắn rằng khoảng cách giữa mình và con thỏ không vượt quá $100$?

 

 

 

 

Ngày thi thứ hai (19/07/2017)

 

 

 

Bài 4. Cho $R$ và $S$ là hai điểm phân biệt trên đường tròn $\Omega$ sao cho $RS$ không phải là đường kính. Cho $\ell$ là tiếp tuyến tại $R$ của $\Omega$. Lấy điểm $T$ sao cho $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $RT$. Lấy điểm $J$ trên cung nhỏ $\overarc{RS}$ của $\Omega$ sao cho đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của tam giác $JST$ cắt $\ell$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A $ là giao điểm gần $R$ nhất của $\Gamma$ và $\ell$. Đường thẳng $AJ$ cắt lại $\Omega$ tại $K$. Chứng minh rằng $KT$ tiếp xúc với $\Gamma$.

 

Bài 5. Cho số nguyên $N>2$. Có $N(N+1)$ cầu thủ bóng đá, trong đó không có hai người nào có cùng chiều cao, đứng thành một hàng ngang. Ngài Alex muốn đưa $N(N – 1)$ cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, gồm $2N$ cầu thủ còn lại, $N$ điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

(1) không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất,

(2) không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cầu thủ cao thứ tư,

$\dots$

($N$) không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất.

Chứng minh rằng Ngài Alex luôn có thể làm được điều đó.

 

Bài 6. Cặp có thứ tự các số nguyên $(x, y)$ được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số chung lớn nhất của $x$ và $y$ bằng $1$. Cho tập $S$ gồm hữu hạn điểm nguyên thủy. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ và các số nguyên $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_{n-1},a_n$ sao cho với mỗi điểm $(x, y)$ thuộc $S$, ta có:$$a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1.$$

 

 

--- Hết ---

 

Đề gốc: https://www.imo-offi...g/problems.aspx


Cấp số cộng và phân hoạch tập $Z^+$

07-07-2017 - 15:02

Cho số nguyên tố $p\geq 3$ và dãy số nguyên phân biệt $\{ a_i\}_{i=1}^p$. Chứng minh rằng nếu tập số nguyên dương $Z^+$ có thể phân hoạch thành các tập $A_1,A_2,\dots ,A_p$ sao cho với các $i\in\{ 1,2,\dots ,p\}$ thì các tập $A_i+a_i=\{x+a_i|x\in A_i\}$ là đồng nhất thì dãy $\{ a_i\}$ phải lập thành một cấp số cộng.


$x^2+3$ không có nguyên tố $3k+2$

20-05-2017 - 08:58

Không sử dụng thặng dư bậc hai, hãy chứng minh rằng một ước nguyên tố lẻ của một số có dạng $x^2+3$ thì không thể có dạng $3k+2$.

@ddang00: Cảm ơn em, đã sửa.