Đề
Bài 1: (4,0đ)
Giải phương trình: $x\sqrt{x^2+6}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+7}=\frac{13}{5}(2x+1)$.
Bài 2: (4,0đ)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=\frac{1}{5} & & \\ 4x^2+3x-\frac{57}{25}=-y(3x+1) & & \end{matrix}\right.$
Bài 3: (3,0đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$. Chứng minh:
$$\frac{a^2}{2+a^2}+\frac{b^2}{2+b^2}+\frac{c^2}{2+c^2}\geq 1$$
Bài 4: (3,0đ)
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $2^x=y^2-135$.
Bài 5: (3,0đ)
Cho A là tập hợp có 8 phần tử. Tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần tử của A sao cho giao của 2 tập con bất kì trong các tập con này không phải là một tập hợp có 2 phần tử.
Bài 6: (3,0đ)
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy 19 điểm phân biệt tùy ý có tọa độ là các số nguyên sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ta luôn tìm được một tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm nói trên mà trọng tâm của tam giác ấy là điểm có tọa độ là các số nguyên.