nganha2001

Cho 2 hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [-1;1] thỏa mãn f(x)>0 , g(x)>0 , $\forall x\in [-1;1]$ và $f'{(x)}\geq g'(x)\geq 0$ $\forall x\in [-1;1]$. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $h(x)=2f(x)g(x)-g^{2}(x)$ trên đoạn [-1;1]. 

$h'\left ( x \right )= 2\left ( f'\left ( x \right ).g\left ( x \right )+f\left ( x \right ) .g'\left ( x \right )\right )-2.g\left ( x \right ).g'\left ( x \right )= 2g\left ( x \right ).\left ( f'\left ( x \right )-g'\left ( x \right ) \right )+2f\left ( x \right ).g'\left ( x \right )\geq 0$

$\Rightarrow$ hàm đồng biến trên [-1;1] $\Rightarrow m = h\left ( -1 \right )$

8.

pt (1) $\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}(3y+1)+4xy+4y^{3}-4y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x-2y)^{2}(x+y-1)=0$

$\Leftrightarrow x=2y$

hoặc  $y=1-x$

thế vào pt (2)

7.  $3x^{2}+3x+2=(x+6)\sqrt{3x^{2}-2x-3}$                

     đk: $x\leq \frac{1-\sqrt{10}}{3}; x\geq \frac{1+\sqrt{10}}{3}$

$\Leftrightarrow (3x^{2}-2x-28)+(x+6)(5-\sqrt{3x^{2}-2x-3})=0$

$\Leftrightarrow (3x^{2}-2x-28)(1-\frac{x+6}{5+\sqrt{3x^{2}-2x-3}})=0$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-2x-28=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{85}}{3}$

                hoặc   $\frac{x+6}{5+\sqrt{3x^{2}-2x-3}}=1\Leftrightarrow x+1= \sqrt{3x^{2}-2x-3}\Leftrightarrow x=1\pm \sqrt{3}$

3. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}=\frac{(x-y)^{2}}{2}\\ \\ (x+y)(x+2y)+3x+2y=4 \end{matrix}\right.$

đk:  $x\geq \frac{-1}{2}$   $y\geq \frac{1}{2}$

pt (1)   $(x+y)(x+2y)+3x+2y=4$

$\Leftrightarrow (x+y-1)(x+2y+4)=0$

$\Leftrightarrow x=1-y$   hoặc   $x=-2y-4$

thế vào pt (2)  =>.....

Giải phương trình:

a, $x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}=2x+1$

 

đk: $x\geq 1$, $x\leq -1$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-1+ \sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}-x=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-1+\frac{x^{4}-x^{3}-x^{2}}{x^{2}+x\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}^{2}}=0$$\Leftrightarrow (x^{2}-x-1)(1+\frac{x^{2}}{x^{2}+x\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}+\sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}})=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$ $\Leftrightarrow ...$

1)$x^{2}-x-4=2\sqrt{x-1}\left ( 1-x \right )$

 

đk: $x\geq 1$

$x^{2}-x-4+2\sqrt{x-1}^{3}=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-x-2+2(\sqrt{x-1}^{3}-1)=0$

$(x-2)(x+1)+2.\frac{x-2}{1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+1+\frac{2}{1+\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}^{2}})=0\Leftrightarrow x=2$

1)$x^{2}-x-4=2\sqrt{x-1}\left ( 1-x \right )$

đk: $x\geq 1$

pt $\Leftrightarrow x^{2}-x-2+2\left ( \sqrt{x-1} ^{3}-1\right )=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+1)+2.\frac{x-2}{1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+1+\frac{2}{1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}^{2}})=0\Leftrightarrow x=2$ 

$\frac{2x^{2}+x-1}{1+3\sqrt{x-1}}=\sqrt{x(x+1)}$

mình cũng ở Hà Tĩnh nè!

$\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2+1}{2x}=\frac{(x^2+1)^2}{2x(1-x^2)}$

đk:            $x\neq 0 , x\neq \pm 1$

pt $\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=\frac{2x^{2}(x^{2}+1)}{2x(1-x^{2})}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+1}=\frac{x(x^{2}+1)}{1-x^{2}}$

$(1-x^{2})\sqrt{x^{2}+1}=x(x^{2}+1)$

$3x^{3}-x+(1-x^{2})(2x-\sqrt{x^{2}+1})=0$

$(3x^{2}-1)(x+\frac{1-x}{2x+\sqrt{1+x^{2}}})=0$

$\Leftrightarrow ....$

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{2}+1=\sqrt{2x^{3}-x^{2}+x+1}$

đk:   $x\geq \frac{-1}{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x+2=2\sqrt{2x^{3}-x^{2}+x+1}$

$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1)+(2x+1)=2\sqrt{(2x+1)(x^{2}-x+1)}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}-x+1}-\sqrt{2x+1})^{2}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-x+1}=\sqrt{2x+1}$

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{(x-1)(x^{2}-3x+5)}=4-2x$

đk: $x\geq 1$

đặt $\sqrt{x-1}=t$           $(t\geq 0)$

$\Leftrightarrow t+\sqrt{t^{2}+4}+2t\sqrt{t^{4}-t^{2}+3}=2-2t^{2}$

$\Leftrightarrow 2t^{2}+t(1+2\sqrt{t^{4}-t^{2}+3})+\sqrt{t^{2}+4}-2=0$

$\Leftrightarrow 2t^{2}+\frac{t^{2}}{2+\sqrt{t^{2}+4}}+t(1+2\sqrt{t^{4}-t^{2}+3})=0$

$\Leftrightarrow t(2t+\frac{t}{2+\sqrt{t^{2}+4}}+1+2\sqrt{t^{4}-t^{2}+3})=0$

Do $(2t+\frac{t}{2+\sqrt{t^{2}+4}}+1+2\sqrt{t^{4}-t^{2}+3})>0$ 

$\Rightarrow t=0$

$\Leftrightarrow ...$

$(x^{2}+x)\sqrt{4x-3}-\sqrt{6x-2}-16x+16=0$

đk: $x\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow x+1-\sqrt{6x-2}+\left ( x^{2}+x \right )\left ( \sqrt{4x-3}-3 \right )+3x^{2}-14x+15=0$

$(x-3)(\frac{x-1}{x+1+\sqrt{6x-2}}+\frac{4x^{2}+4x}{\sqrt{4x-3}+3}+3x+5)=0$

Do $)(\frac{x-1}{x+1+\sqrt{6x-2}}+\frac{4x^{2}+4x}{\sqrt{4x-3}+3}+3x+5)$ $> 0$ với $x\geq \frac{3}{4}$

$\Rightarrow x=3$

Giải phương trình:

$(x+3)\left ( \sqrt{2x^{2}+6x+2}-2x \right )=\sqrt[3]{x^{2}+1}+(x^{2}-7)\sqrt{x+3}$

13)$\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2$

đkxđ: $x\leq \frac{10}{3}$

$\Leftrightarrow 4-3\sqrt{10-3x}=x^{2}-4x+4$

$\Leftrightarrow -3\sqrt{10-3x}=x^{2}-4x$

$\Leftrightarrow 3\left ( 1-\sqrt{10-3x} \right )= x^{2}-4x+3$

$3.\frac{3x-9}{1+\sqrt{10-3x}}=\left ( x-3 \right )\left ( x-1 \right )$

$\Leftrightarrow \left ( x-3 \right )\left ( \frac{9}{1+\sqrt{10-3x}} +1-x\right )=0$

$\Rightarrow ...$