hoakute

x,y,z là 3 số nguyên dương  $\left\{\begin{matrix} 2^x-1=y^z & \\ x> 1 & \end{matrix}\right.$

cm z=1 

Vì 2^x -1 là số nguyên dương lẻ với x nguyên dương nên y  ^z cũng là số lẻ. => y lẻ nên y có dạng 2k+1 (k thuộc N)

Ta có: $2^{x}-1=y^{z}\Leftrightarrow 2^{x}=1+y^{z} \Leftrightarrow 2^{x}=1+(2k+1)^{z}$

Nếu z chẵn thì : $2^{x}=1+(2k+1)^{2m}\Leftrightarrow 2^{x}=1+(4k^{2}+4k+1)^{m}\equiv 2$ (mod 4) . Điều này vô lí do x>1 nguyên dương nên

2^x chia hết cho 4

Nếu z lẻ thì :  $2^{x}=1+y^{2m+1}\Leftrightarrow 2^{x}=(y+1)(y^{2m}-y^{2m-1}+...-y+1)$

Vì y lẻ nên $y^{2m}-y^{2m-1}+...-y+1$ lẻ. do đó $y^{2m}-y^{2m-1}+...-y+1$ là ước lẻ của $2^{x}$ . suy ra $y^{2m}-y^{2m-1}+...-y+1=1$

Do đó : $2^{x}=1+y^{z}=1+y$ 

$\Rightarrow y^{z}=y\Leftrightarrow z=1$  (đpcm)

cần thêm điều kiện a # 0 suy ra từ giả thiết a(a-b+c)<0 để phương trình là pt bậc hai

$\left\{\begin{matrix} x+y+xy=1 & & \\ y+z+yz=5 & & \\ x+z+xz=2& & \end{matrix}\right.$

x+y+xy+1=2  <=> (x+1)(y+1)=2

y+z+yz+1=6 <=> (y+1)(z+1)=6

x+z+xz+1=3 <=> (x+1)(z+1)=3

=> [(x+1)(y+1)(z+1)]²=6²

^{=> (x+1)(y+1)(z+1)=6}

^{=> ....... => x= 0   ;y=1    ;z= 2} 

^{(sr Cốc cốc đang lỗi k gõ đc LATEX)}

http://diendantoanho...t-việt-namvimf/

#cacbaiBDTthichuyenbai1

- Từ pt (2) có : x(30-6y)=y(5+3x) <=> 9xy=5(6x-y) <=> $\frac{9}{5}x=\frac{6x-y}{y} (y\neq 0)$

- Khi đó pt (1) : $\frac{x+\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=\frac{6x-y}{y}\Leftrightarrow \frac{2x}{x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=\frac{6x}{y}\Rightarrow 2xy=6x^{2}-6x\sqrt{x^{2}-y^{2}}\Rightarrow xy=3x^{2}-3x\sqrt{x^{2}-y^{2}}\Leftrightarrow x(3x-3\sqrt{x^{2}-y^{2}}-y)=0$

+ với x=0 => y k có

+ với 3x-y=3 căn... ta có 5y=3x =>$\frac{9}{5}x=\frac{6x-y}{y}\Leftrightarrow \frac{15y}{5}=\frac{9y}{y}\Leftrightarrow y=3\Rightarrow x=5$

Đs x=5,y=3