hoakute

x,y,z là 3 số nguyên dương  $\left\{\begin{matrix} 2^x-1=y^z & \\ x> 1 & \end{matrix}\right.$

cm z=1 

Vì 2^x -1 là số nguyên dương lẻ với x nguyên dương nên y  ^z cũng là số lẻ. => y lẻ nên y có dạng 2k+1 (k thuộc N)

Ta có: $2^{x}-1=y^{z}\Leftrightarrow 2^{x}=1+y^{z} \Leftrightarrow 2^{x}=1+(2k+1)^{z}$

Nếu z chẵn thì : $2^{x}=1+(2k+1)^{2m}\Leftrightarrow 2^{x}=1+(4k^{2}+4k+1)^{m}\equiv 2$ (mod 4) . Điều này vô lí do x>1 nguyên dương nên

2^x chia hết cho 4

Nếu z lẻ thì :  $2^{x}=1+y^{2m+1}\Leftrightarrow 2^{x}=(y+1)(y^{2m}-y^{2m-1}+...-y+1)$

Vì y lẻ nên $y^{2m}-y^{2m-1}+...-y+1$ lẻ. do đó $y^{2m}-y^{2m-1}+...-y+1$ là ước lẻ của $2^{x}$ . suy ra $y^{2m}-y^{2m-1}+...-y+1=1$

Do đó : $2^{x}=1+y^{z}=1+y$ 

$\Rightarrow y^{z}=y\Leftrightarrow z=1$  (đpcm)

                               ĐỀ THI HSG TOÁN 9 TỈNH NAM ĐỊNH 2016-2017     

                                                 Thời gian : 150 phút

                                                Ngày thi : 21/03/2017

Câu 1: 

a, Rút gọn : Q= $\frac{2\sqrt{3-\sqrt{5+\sqrt{13-\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$

b, Cho $\frac{1}{a^{2}-bc}+\frac{1}{b^{2}-ca}+\frac{1}{c^{2}-ab}=0$

Chứng minh $\frac{a}{(a^{2}-bc)^{2}}+\frac{b}{(b^{2}-ca)^{2}}+\frac{c}{(c^{2}-ab)^{2}}=0$

Câu 2: 

a. Giải phương trình $(x-1)^{2}+(x-2)\sqrt{x^{2}+1}=0$

b. Giải hệ pt :

            $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy-5x-3y+6=0 & \\ x^{2}+xy+y^{2}=3 & \end{matrix}\right.$

Câu 3: 

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Đường thẳng d là tiếp tuyến tại A của (O). M,N lần lượt trên d sao cho A nằm giữa M và N. Nối BM,BN cắt (O) lần lượt tại D,E.

a, Chứng minh tứ giác DMNE nội tiếp đường tròn.

b, Chứng minh $\frac{IA}{IB}=\frac{AM.AN}{AB^{2}}$  ( với I là giao DE và AB).

c, Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định khi M,N thay đổi thỏa mãn AM.AN không đổi và A luôn nằm giữa M và N.

Câu 4: 

a. Có tồn tại số tự nhiên chia hết cho 2017 và có tổng các chữ số là 2017 không?

b. Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn :$\frac{x^{2}-y}{8x-y^{2}}=\frac{y}{x}$

Câu 5 : 

a. Cho a,b thuộc R thỏa mãn : $4a^{2}-3ab+4b^{2}\leq 6$ . chứng minh rằng   $2a+4b+3ab \leq 11$

b, Trên bảng có 2017 số :$\frac{1}{1}; \frac{1}{2};\frac{1}{3};...\frac{1}{2017}$ .Thực hiện trò chơi : xóa hai số u,v bất kì và thay bởi số u+v+uv . Sau hữu hạn lần biến đổi , trên bảng còn một số duy nhất. Chứng minh số đó không phụ thuộc vào đại lượng u,v. Số đó là số nào?

- Từ pt (2) có : x(30-6y)=y(5+3x) <=> 9xy=5(6x-y) <=> $\frac{9}{5}x=\frac{6x-y}{y} (y\neq 0)$

- Khi đó pt (1) : $\frac{x+\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=\frac{6x-y}{y}\Leftrightarrow \frac{2x}{x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=\frac{6x}{y}\Rightarrow 2xy=6x^{2}-6x\sqrt{x^{2}-y^{2}}\Rightarrow xy=3x^{2}-3x\sqrt{x^{2}-y^{2}}\Leftrightarrow x(3x-3\sqrt{x^{2}-y^{2}}-y)=0$

+ với x=0 => y k có

+ với 3x-y=3 căn... ta có 5y=3x =>$\frac{9}{5}x=\frac{6x-y}{y}\Leftrightarrow \frac{15y}{5}=\frac{9y}{y}\Leftrightarrow y=3\Rightarrow x=5$

Đs x=5,y=3

B1: mk chủ trương đơn giản hóa

$A=a^{2}+b^{2}+c^{2}-abc=(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}+(xy+\frac{1}{xy})^{2}-(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})(xy+\frac{1}{xy})=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{y^{2}}+(xy)^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}+6-[(xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{xy})(xy+\frac{1}{xy})=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{y^{2}}+(xy)^{2}+\frac{1}{(xy)^{2}}+6-x^{^{2}}-y^{2}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}-(xy)^{2}-\frac{1}{(xy)^{2}}-2=4$

A= $-x^{4}+16x^{2}+12x-93=(-x^{4}+18x^{2}-81)-2(x^{2}-6x+9)+6=-(x^{2}-9)^{2}-2(x-3)^{2}+6\geq 6$

Dấu= khi và chỉ khi x=3

B=$-x^{4}+2x^{3}-6x^{2}+10x-8=-(x^{2}-x)^{2}-5(x-1)^{2}-3\geq -3$

dấu = khi x=1

a, Để dễ nhìn, mk đặt $\sqrt{x}=y\mid y\geq 0$

Khi đó A=$\frac{2y-9}{y^{2}-5y+6}-\frac{y-3}{y-2}-\frac{2y+1}{3-y}= \frac{2y-9}{(y-3)(y-2)}-\frac{(y+3)(y-3)}{(y-2)(y-3)}+\frac{(2y+1)(y-2)}{(y-3)(y-2)}=\frac{y+1}{y-3}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

b, ĐKXĐ : x khác 9; 4; x>=0

x=$6+2\sqrt{5}=(1+\sqrt{5})^{2}$  nên $\sqrt{x}=1+\sqrt{5}$

Ta có A=$\frac{1+\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}-3}=9+4\sqrt{5}$

c, A=1/2 khi và chỉ khi x thỏa Đkxđ và $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}= \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt{x}=-5$  <vô lí>

d, A>1 khi x thỏa ĐKXĐ và $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}> 1\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x}-3}> 0\Leftrightarrow \sqrt{x}>3 \Leftrightarrow x>9$  

e, Đặt B= $\frac{4}{\sqrt{x}-3}$  suy ra $\sqrt{x}=\frac{4+3B}{B}\Rightarrow 16\vdots B\Leftrightarrow B\epsilon \left \{ \pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8;\pm 16 \right \}$

Chịu khó xét t.h bn nha

a, $M=(\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}).\frac{(\sqrt{a}-1)^{2}}{\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}$

b,ĐKXĐ : a>=0 ; a khác +-1

a=$4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1)^{2}$  suy ra $\sqrt{a}=\sqrt{3}-1$

Khi đó A= $\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-1}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

c, M=2 khi và chỉ khi $\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}=2\Leftrightarrow \sqrt{a}-1-2\sqrt{a}=0\Leftrightarrow -\sqrt{a}=1$

=> không có a để M=2

http://diendantoanho...e-1#entry638166

http://diendantoanho...h-bất-đẳng-thức

Bài 3: Gọi scp cần tìm là abcd. (a $\neq 0$; a,b,c,d<10)

Ta có số mới là abcd+1111 (cấu tạo số)

Khi đó abcd+1111-abcd=m²-n² =(m-n)(m+n)  (m,n>0 và m,n nguyên)

<=> 1111=(m-n)(m+n)

Suy ra m+n; m-n là các ước của 1111.

=> m+n = 101 (do m+n>m-n) => abcd= 2025

bài 2 đã trả lời ở đây rồi nhé http://diendantoanho...-học-2016-2017/

http://diendantoanho...m-định-đề-số-2/

$x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1=\frac{x^{10}+x^{5}+1}{x^{2}+x+1}$

Mà $x^{10}+x^{5}+1=(x^{5}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}> 0$  và  $x^{2}+x+1>0$  nên biểu thức trên >0

C3: $\sum \frac{a}{2a+b+c}= \sum 1-\frac{a+b+c}{2a+b+c}= 3-(a+b+c)(\sum \frac{1}{2a+b+c})\leq 3-(a+b+c)(\frac{9}{4(a+b+c)})=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

câu 2 k có thêm đk j sao bn ?