dat9adst20152016

 

$\left\{\begin{matrix}

xy(2x+y-6)+y+2x=0 &  & \\ 

 (x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{xy})^{2}=8&  & 

\end{matrix}\right.$

 

  Nhìn pt2 là ta nghĩ tới phương pháp đánh giá!

 Có: $(x^{2}+y^{2})(1+\frac{1}{xy})^{2}\geq 2xy\cdot \frac{4}{xy}=8$

Dấu = khi x=y và xy=1$\Rightarrow x=y=+-1$

 Thay vào pt1 chỉ thỏa TH x=y=1

                                                                    KÌ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

                                                                         KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

                                                                                                LẦN THỨ X, NĂM 2017

                                                                                             ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC

                                                                                                        LỚP: 10     

Bài 1: Giải phương trình $x^{2}+2\sqrt{2x+7}=2\sqrt{3-2x}+5 (x\in R)$

Bài 2: Cho tam giác ABC (AB<AC) nhọn, không cân nội tiếp (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm BC. Đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại điểm thứ hai là K (K$\neq$A). Đường thẳng AM cắt (J) tại điểm thứ hai là Q (Q$\neq$A). EF cắt AD tại P. Đoạn PM cắt (J) tại N.

  a) CM các đường KF, EQ, BC đồng quy hoặc song song và K, P, Q thẳng hàng.

  b) CM đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC.

Bài 3: Tìm tất cả bộ 3 số nguyên (a,b,c) sao cho $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2$ là lũy thừa của 2016²⁰¹⁷

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

        CM a²+b²+c²+3$\geq$2(ab+bc+ca)

Bài 5: Cho 1 bảng ô vuông kích thước 10x10, trên đó đã điền các số nguyên dương từ 1 đến 100 vào các ô vuông con theo trình tự như hình a. Ở mỗi bước biến đổi người ta chọn tùy ý 3 ô vuông con liên tiếp theo hàng hoặc cột hoặc đường chéo của hình vuông 3x3 (hình b) rồi thưc hiện: Hoặc là giảm số ô nằm giữa đi 2 đơn vị đồng thời tăng số ở 2 ô liền kề lên 1 đơn vị, hoặc là tăng số ô nằm giữa lên 2 đơn vị đồng thời giảm số ở 2 ô liền kề đi 1 đơn vị. Giả sử sau hữu hạn lần biến đổi, tập hợp tất cả các số ghi trên bảng ô vuông vẫn là tập {1;2;3;....;100). CMR khi đó các số ghi trên bẳn theo đúng vị trí như trước khi biến đổi.    

 $\sqrt{x\left ( x+1 \right )}+\sqrt{x-2}\geqslant \sqrt{3\left ( x^{2}-2x-2 \right )}$

  BPT$\Leftrightarrow \sqrt{x(x+1)(x-2)}\geq (x^{2}-2x)-2(x+1)\Leftrightarrow (\sqrt{x^{2}-2x}+\sqrt{x+1})(\sqrt{x^{2}-2x}-2\sqrt{x+1})\leq 0\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-2x}\leq 2\sqrt{x+1}$

  Mk chỉ viết cái dàn thôi, bạn tự làm chi tiết nha.

    Sở Giáo Dục và Đào Tạo                                 Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 cấp THCS

            tỉnh Nghệ an                                                                   Năm học 2016-2017

 

Câu 3: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=135^{\circ}$, $BC=5 cm$ và đường cao $AH=1 cm$. Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC$.

 Câu 3:

     Kẻ BK$\perp AC$$\Rightarrow AK=BK$

 $\Delta CAH\sim \Delta CBK\Rightarrow AC.BK=BC.AH=5$  (1)

 Mặt khác: BK²+CK²=BC²$\Rightarrow BK^{2}+AK^{2}+AC^{2}+2AK.AC=25\Rightarrow 2BK^{2}+AC^{2}+2BK.AC=25$   (2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow AC=\sqrt{5}\rightarrow AB=\sqrt{10}$

$\left\{\begin{matrix} &8^x-4^{x+1} -5.2^x=2^y-6 & \\ & 7.4^x+9.2^x =4+8^y & \end{matrix}\right.$

 Đặt 2^x=a; 2^y=b

 Hệ viết lại thành:$\left\{\begin{matrix} a^{3}-4a^{2}-5a=b-6 & \\ 7a^{2}+9a=4+b^{3} & \end{matrix}\right.\Rightarrow a^{3}+3a^{2}+4a=b^{3}+b-2\Leftrightarrow (a+1-b)[(a+1)^{2}+(a+1)b+b^{2}+1]=0\Leftrightarrow a-b+1=0$

 Tới đây thế vào là được.