Đến nội dung

SKT T1 SPAK

SKT T1 SPAK

Đăng ký: 20-04-2016
Offline Đăng nhập: 19-11-2017 - 09:42
**---

#664068 Bài toán phủ hình

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 07-12-2016 - 16:58

Cho bảng vuông gồm 99x99 ô vuông và bị thiếu mất ô ở chính giữa. Hỏi có thể phủ kín bảng bằng các hình chữ L (gồm hình chữ nhật 3x1 nối với ô vuông 1x1) được hay không? Bài toán ra sao với bảng vuông (2n+1)x(2n+1) với n là số nguyên dương lớn hơn 2.




#654108 $\left | a-b \right |> \sqrt[3]{3ab}$

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 14-09-2016 - 11:01

Cho a,b nguyên dương sao cho $ab(a+b)$ chia hết cho $a^{2}+ab+b^{2}$CMR: 

                  $\left | a-b \right |> \sqrt[3]{3ab}$




#653799 $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ chia hết cho...

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 11-09-2016 - 20:52

$d=gcd(a,b,c)$ 
Nhận xét nếu $a,b,c$ là nghiệm thì $(\frac{a}{d},\frac{b}{d},\frac{c}{d})$ cũng là nghiệm 
Do đó chỉ cần xét $1=gcd(a,b,c)$ khi đó suy ra $(abc)^2|a^3+b^3+c^3$ 
Do đó bài toán đưa về 
PT $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$ (*)
Không mất tỉnh tổng quát . Giả sử $x \ge y \ge z$ 
Xét $x=1$ suy ra $y=z=1$ và $n=3$  
Bây giờ ta xét $x \ge 2$ 
Như vậy thì theo phương trình $(*)$ thì 
$x^3+y^3+z^3 \ge (xyz)^2$ . Chia cả $2$ vế cho $x^3$ ta được : 
$\frac{y^3+z^3}{x^3} \ge \frac{(yz)^2}{x}-1$ (2)
Mà $\frac{y^3+z^3}{x^3} \le 2$ 
Suy ra $x \ge \frac{(yz)^2}{3}$ 
Mà ta lại có $x^2|(y^3+z^3)$ nên $2y^3 \ge y^3+z^3 \ge x^2$ 
Từ đó ta được $\frac{y^4z^4}{9} \le x^2 \le 2y^3$
Suy ra $yz^4 \le 18 \Leftrightarrow z \le \sqrt[4]{18}$ từ đó ta có $z <2$ 
Suy ra $z=1$ 
Thế vào (2) ta có : $\frac{y^2}{x}-1 \le {y^3+1}{x^3} \le 1+\frac{1}{x^3}$ 
Suy ra $y^2 \le 2x+\frac{1}{x^2} \le 2x+\frac{1}{4}$  
Suy ra $2x \ge y^2-\frac{1}{4}>y^2$ suy ra $x \ge \frac{y^2}{2}$ (3)
Mà $y^3+z^3 \ge x^2$ suy ra $y^3+1 \ge x^2$
Lại từ (3) ta có $x^2 \ge \frac{y^4}{4}$ 
Từ đó suy ra $y^3+1 \ge x^2 \ge \frac{y^4}{4}$ 
$(2x)^{\frac{3}{2}} \ge y^3$
Ta có bất phương trình $(2x)^{\frac{3}{2}}+1 \ge x^3$ 
Suy ra $x \le 2$ 
Đến đây ta sử dụng bất phương trình $x \ge \frac{y^2}{2}$ rồi tìm ra $n$

đến chỗ đó suy ra luôn x=2 do đk $x \ge 2$ mà $x \ge y$ suy ra y=1 do (x,y)=1 .Tìm được n=2,5 => loại do $n\in N$ => nghiệm duy nhất x=y=z=1




#635255 $\sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ca} + \sqrt...

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 24-05-2016 - 20:15

từ gt nhân cả 2 vế với $\sqrt{abc}$ được $\sum \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}=\sqrt{abc}$ suy ra

cần chứng minh $\sqrt{a+bc}\geq \sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{a}$ (1)

BP 2 vế được :

$bc\geq \frac{bc}{a}+2\sqrt{bc}$

$\Leftrightarrow bc\geq bc(1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b})+2\sqrt{bc}$

$\Leftrightarrow b+c\geq 2\sqrt{bc}$

BĐT trên đúng với mọi b,c . tương tự (1) rồi cộng lại được BĐT cần chứng minh

Chỗ cuối là $bc\geq bc(1-\frac{1}{c}-\frac{1}{b})+2\sqrt{bc}$ bạn ơi




#634329 Tìm GTLN, GTNN của hàm số $4x^{2}-2|2x-1|-4x-5$ với...

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 20-05-2016 - 19:52

$4x^{2}-4x+1-2\left | 2x-1 \right |+1-7=(\left | 2x-1 \right |-1)^{2}-7$




#634288 $x+y+z\geq 3+\frac{x^2(z-1)^2}{(x+1)(xz+1)...

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 20-05-2016 - 16:07

Cho x,y,z>0 thoả mãn: xyz=1

   

 

 

                 CMR :   $x+y+z\geq 3+\frac{x^2(z-1)^2}{(x+1)(xz+1)}$
 




#633515 CM: $\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{a+c}} +...

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 16-05-2016 - 19:37

dấu "=" xảy ra tại a=0,b=c và các hoán vị




#632753 bất đẳng thức

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 12-05-2016 - 20:48

Mình xí câu 1 nhé :

           

         $VT^{2}\geq 3\sum \frac{1}{ab(1+b)(1+c)}=\frac{\sum a+\sum ab}{abc(1+a)(1+b)(1+c)} =3[\frac{(1+a)(1+b)(1+c)-abc-1}{abc(1+a)(1+b)(1+c)}] =3[\frac{1}{abc}-\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}-\frac{1}{abc(1+a)(1+b)(1+c)}]\geq 3[\frac{1}{abc}-\frac{1}{(1+\sqrt[3]{abc})^{3}}-\frac{1}{abc(1+\sqrt[3]{abc})^{3}}]$

         Đặt $t=\sqrt[3]{abc} \Rightarrow VT^{2}\geq \frac{9}{t^{2}(t+1)^{2}} \Rightarrow VT\geq \frac{3}{t(t+1)}$ (đpcm)




#632713 $\sum_{i=1}^{n}(\frac{a_i}{...

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 12-05-2016 - 18:11

Cho $a_1,a_2,...,a_n\geq 0$ thoả mãn: $\prod_{i=1}^{n}a_i=1$

         

                              CMR:

                 

                                                  $\sum_{i=1}^{n}(\frac{a_i}{a_i+a_(i+1)})^{2}\geq \frac{n}{4}$ ($a_1=a_(n+1),a_2=a_(n+2)$




#630270 Giải phương trình nghiệm nguyên $3xy-5x-2y=3$

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 29-04-2016 - 23:09

phải là 6y+9=2(3y-5)+19 chứ




#629934 Tìm $Min$ và $Max$ của $Q=x+y+z$

Gửi bởi SKT T1 SPAK trong 27-04-2016 - 22:32

cho x,y,z là các số thực thoả mãn: $y^{2}+yz+z^{2}=1-\frac{3}{2}x^{2}$ .Tim Min,Max của: 

            Q=x+y+z