ILikeMath22042001

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H. Kẻ HN là đường phân giác trong tam giác BHC (N thuộc BC). Qua H kẻ đường thẳng vuông HN cắt AB,AC lần lượt tại D,E. Đường phân giác trong của tam giác ABC cắt (ADE) tại K. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: H,K,M thẳng hàng.

Thay $x$ bằng $1-x$, được phương trình:

$2f(1-x) + f(x) = 3(1-x)^{2} + 6$

Giải hệ phương trình, tìm được $f(x) = x^{2} + 2x - 3$

$\Rightarrow f'(x) = 2x + 2$

Để tìm diện tích tạo bởi 2 hình phẳng này, ta tìm tọa độ chúng giao nhau:

$f(x) = f'(x)\Leftrightarrow x^{2}+2x+3 = 2x + 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{5}$

$\Rightarrow S=\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}|x^{2}-5|=\frac{20}{3}\sqrt{5} \Rightarrow a = 20, b = 3 \Rightarrow a-b = 20-3=17$

Đang nhân nhé, chỗ đó có thể hiểu là 1.dx, hay f(x) = 1/... nha

Biến đổi biểu thức trên được:

\[\begin{array}{c}
M = \frac{{{x^2} - 8x + 25}}{{{x^2} - 6x + 25}}\\
 \Leftrightarrow \left( {1 - M} \right){x^2} + \left( {6M - 8} \right)x + 25 - 25M = 0
\end{array}\]

Để phương trình trên có nghiệm.

\[\begin{array}{c}
\Delta ' \ge 0\\
 \Leftrightarrow  - 16{M^2} + 26M - 9 \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le M \le \frac{9}{8}
\end{array}\]

Khi đó, $\min M = \frac{1}{2}$ và $\max M = \frac{9}{8}$.

Dấu "=" xảy ra khi:

+$\min M = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 5$

+$\max M = \frac{9}{8} \Leftrightarrow x =  - 5$

theo mình thấy thì sau khi bạn đã có 2TH: x = 1+y và x = 1-y thì bạn Không Nên thay vào (1) nữa, bởi vì đây có thể là phương trình hệ quả, bạn thay vào có thể làm sót nghiệm, hoặc gây ra trường hợp vô số nghiệm vì nó luôn đúng? Thay vì thế, bạn hãy tận dụng thêm pt (2) bên dưới nữa, và bạn sẽ thấy nó còn nhiều bộ nghiệm nữa nhé, bạn check lại xem

Chuyển vế, ta được:

1/BC^2 - 1/AB^2 = 1/BE^2

<=> AC.BE = AB.BC

<=> AC/BC = AB/BE

<=>cos(ACB) = cos(ABE)

<=> ACB = ABE (luôn đúng vì ACB = MAC = ABE)

=> đpcm

Mình có copy đoạn code cũ để thử lại và chọn "Copy văn bản" như bạn đề nghị, nhưng lúc paste thì nó vẫn chỉ ra đoạn code thôi á. Điều này làm mình không biết do đâu nữa...Cũng cảm ơn bạn nha

Hoặc một cách khác tránh giải phương trình bậc cao

đáp án của bạn là (căn 3 - 1)/2 mà

Mình sử dụng lượng liên hợp nhé:

1/(căn 3 +1 ) = (căn 3 -1 )/2

Ổn chưa bạn??

Từ hình vẽ  ta có các yếu tố sau:

BM vuông HK và B,M,E thẳng hàng (tự cm)

Ta viết được ptđth HK: x+3y+2=0

Pt đthẳng BM ( qua E và vuông HK) : 3x-y+2=0

Tọa độ điểm B là giao điểm của đth BM và (d) : x+2y-18 =0

=> B(2;8)

Gọi I là trung điểm HK => I(1;-1)

Giả sử M có tọa độ M(a;b)

=> ta có hpt :

.vectorMH . vectorMK = 0 <=> a² + b² - 2a +2b = 8

.MB² = MD² = 4MI² ,<=> 3a² + 3b² - 4a + 24b = 60

Giải hệ trên ta được 2 nghiệm, tương ứng với 2 tọa độ của M là M(0;2) và M(108/41;70/41)

Mặt khác, tọa độ điểm M phải thỏa mãn hệ thức vectorBM.vectorHK = 0 nên ta chỉ nhận M(0;2)

=> D(2;-4)

Ta viết được ptđth DK: x - y - 6 =0

ptđth BC ( qua B và vuông góc DK ) : x - y -10 =0

tọa độ điểm C là giao điểm của BC và DK => C(8;2)

Gọi O là tâm hv ABCD => O là trung điểm AC và BD

Có tọa độ B,D => O(2;2)

Từ đó suy ra tọa độ điểm A là (-4;2)

Vậy tọa độ 4 đỉnh của hv là: A(-4;2), B(2;8),C(8;2),D(2;-4)

Cảm ơn bạn, nhưng tại sao phần c buồn cười vậy bạn, DM/KM = căn 3 +1 chứ có như kết quả của bạn đâu

là 1/( căn 3 +1 ) chứ ??

mình ghi nhầm á, là IH = OD

Thế này nhé. Kẻ AO cắt đường tròn (O) tại L. Chứng minh được BHCL là hbh

Mà D là trung điểm BC

=> D là trung điểm HL

Mà O là trung điểm AL

=> DO là đtb tam giác HAL

=> DO // HA và DO = 1/2 HA

mà I là trung điểm AH

=> IH = OD

okay, chắc bạn học định lí Cos trong tam giác rồi chứ ??

Ta có: CosBOC = (OB² + OC² - BC²)/(2OB.OC)=-1/2

=> BOC = 120

Chứng minh được:

. JC = JM ( =1/2 KB )

. IC = IM (=1/2 AE )

=> IJ là đường trung trực của CM

=> IJ vuông CM

Xin lỗi nhưng câu b hình như không đúng với bài này rồi bạn ơi, bạn xem lại hộ mình với.

 

@halloffame: câu $b)$ chỉ cần tính ra bán kính như bạn ở trên đã làm là có thể tính được chu vi đường tròn rồi mà bạn.

ừ, chỗ này do mình đọc đề không kĩ, lúc chép lại cũng chỉ ghi tính bán kính đường tròn thoi. Cảm ơn bạn nha