Đến nội dung

ZOT Murloc

ZOT Murloc

Đăng ký: 30-04-2016
Offline Đăng nhập: 12-09-2016 - 19:13
-----

#652900 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi ZOT Murloc trong 05-09-2016 - 16:38

Bài 518': Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} 2x-y-xy^{2}=2xy\left ( 1-x \right ) \\ \left ( x^{2}+2y^{2} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{xy} \right )^{2}=12 \end{matrix}\right.$$
Bài này thay thế cho bài mang tính chất "giải trí" ở trên :D

 

 

ĐKXĐ :

 

 

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-y-xy^2 & = &2xy-2x^2y \\ \left ( x+\frac{1}{y} \right )^2+2\left ( y+\frac{1}{x} \right )^2 & = &12 \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{y}-\frac{1}{x}-y & = &2-2x \\ \left ( x+\frac{1}{y} \right )^2+2\left ( y+\frac{1}{x} \right )^2 & = &12 \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\left (x+\frac{1}{y} \right )-\left (\frac{1}{x}+y \right ) & = &2\\ \left ( x+\frac{1}{y} \right )^2+2\left ( y+\frac{1}{x} \right )^2 & = &12 \end{matrix}\right.$

 

Phần còn lại khá dễ dàng




#647911 Chứng minh rằng $\sum \frac{2a^2-bc}{b^2-bc+c^2...

Gửi bởi ZOT Murloc trong 04-08-2016 - 14:35

Ta có:

$\frac{2a^2-bc}{b^2+c^2-bc}=1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{b^2+c^2-bc}\geq 1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$VT\geq 3-\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}=3-\frac{\sum ab(a+b)-2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$

Ta lại có:

$a^3+b^3+c^3\geq 3abc\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq \sum ab(a+b)$

Vì $(a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b))$

Đoạn này không ổn vì chưa rõ dấu của b^2+c^2-2a^2




#641827 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi ZOT Murloc trong 23-06-2016 - 00:34

Bài 179: Cho ba số thực $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn: $xy=1+z(x+y)$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{z}{1+z^2}$

 

Xét $x+y=0$. Suy ra $xy=1$. Vô lý

 

Suy ra $x+y \neq 0$

 

Rút $z=\frac{xy-1}{x+y}$ thế vào P ta có

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}$

 

+) Nếu $z \leq 0$

 

TH1: $x+y>0$

 

$\Rightarrow xy< 1$

 

Ta có

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{x^2y^2+x^2+y^2+1}< \frac{2xy\left ( xy+1 \right )+2x^2+2y^2}{x^2y^2+x^2+y^2+1}=2$

 

TH2:$x+y<0$

 

$\Rightarrow xy\geq 1$

 

Ta có

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{x^2y^2+x^2+y^2+1}= \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{(xy+1)^2+(x-y)^2}=\frac{2xy}{xy+1}=2-\frac{2}{xy+1}\leq 1$

 

+) Nếu $z>0$

 

TH1:$x+y<0$

 

$\Rightarrow xy\leq 1$

 

Nếu $\left[\begin{matrix} xy\leq -1 & \\ 0\leq xy\leq 1 & \end{matrix}\right.$ thì 

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq \frac{2xy\left ( xy+1 \right )+\frac{\left ( xy-1 \right )^2+\left ( x+y)^2 \right )}{2}}{x^2y^2+x^2+y^2+1}= \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{(xy+1)^2+(x-y)^2}+\frac{1}{2} \leq \frac{2xy}{xy+1}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}-\frac{2}{xy+1}< \frac{3}{2}$

 

Nếu $-1<xy<0$ thì 

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}< \frac{\frac{\left ( xy-1 \right )^2+\left ( x+y)^2 \right )}{2}}{x^2y^2+x^2+y^2+1}= \frac{1}{2}$

 

 

TH2:$x+y>0$

 

$\Rightarrow xy>1$

 

Suy ra x,y dương

 

Ta có

 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{2xy(xy+1)+\frac{1}{2}(xy+1)(2x+2y)-2(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}$

 

Theo BĐT AM-GM ta có

 

$(xy+1)\left ( 2x+2y \right )\leq \frac{x^2y^2+4x^2+4y^2+10xy+1}{2}$

 

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

 

Lại có

 

$\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{2xy(xy+1)}{(xy+1)^2+(x-y)^2}\leq \frac{2xy}{xy+1}$

 

Suy ra

 

$P\leq \frac{2xy}{xy+1}+\frac{x^2y^2+4x^2+4y^2+10xy+1-16\sqrt{xy}}{4x^2y^2+4x^2+4y^2+4}$

 

$\leq \frac{2xy}{xy+1}+1+\frac{10xy-3x^2y^2-3-16\sqrt{xy}}{4\left ( xy+1 \right )^2}$

 

$=\frac{9x^2y^2+26xy+1-16\sqrt{xy}}{4\left ( xy+1 \right )^2}$

 

Việc còn lại là khảo sát hàm số

 

$f(t)=\frac{9t^2+26t+1-16\sqrt{t}}{t+1}$

 

với $t \in (1;+\infty)$

 

Bài của tungteng bị sai khoảng do bị lầm là x,y,z là các số thực dương

Ai làm gọn bài của mình hơn đc không???




#641502 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi ZOT Murloc trong 21-06-2016 - 00:38

Bài 171: (chuyên thái bình) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:
$P=a+b+c+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 Biến đổi đẳng thức ta có

 

$P=b\left ( 1+\frac{a}{b+c} \right )+c\left ( 1+\frac{b}{a+c} \right )+a\left ( 1+\frac{c}{a+b} \right )$

 

$=\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \right )$

 

Theo BĐT C-S ta có

 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\frac{\left ( a+b+c \right )^2}{\left ( a+b+c \right )^2-1}$

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^3}{\left ( a+b+c \right )^2-1}$

 

Theo BĐT cơ bản ta có 

 

$a+b+c\geq \sqrt{3\left ( ab+bc+ca \right )}=\sqrt{3}$

 

Việc còn lại là khảo sát HS or biến đổi tương đương với ẩn a+b+c trên miền $\left [ \sqrt{3},+\infty \right ]$




#641300 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi ZOT Murloc trong 19-06-2016 - 20:25

Bài 431: $(1+x)\sqrt{1+x}+(1-x)\sqrt{1-x}-1=(\sqrt{x^2+1}-2)^2$

 

$PT\Leftrightarrow x\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-x^2-6+4\sqrt{x^2+1}=0$

 

$\Leftrightarrow x\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )+\sqrt{\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )^2}-2-x^2-4+4\sqrt{x^2+1}=0$

 

$\Leftrightarrow x\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )+\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}-2-x^2-4+4\sqrt{x^2+1}=0$

 

$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-\frac{2x^2}{\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )}+\left ( 3-\sqrt{x^2+1} \right )\left ( \sqrt{x^2+1}-1 \right )=0$

 

$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-\frac{2x^2}{\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )}+\left ( 3-\sqrt{x^2+1} \right ).\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1}=0$

 

$\Leftrightarrow x^2.\left ( \frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-\frac{2}{\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )}+\left ( 3-\sqrt{x^2+1} \right ).\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1} \right )=0$

 

Ta có với mọi x thuộc ĐKXĐ

 

$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\leq \sqrt{2.\left ( 1-x+1+x \right )}=2$

 

$\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )\geq 2+\sqrt{2}$

 

$3-\sqrt{x^2+1}\geqslant 3-\sqrt{1+1}> 0$

 

Suy ra phần trong ngoặc luôn lớn hơn 0

 

Suy ra

 

$x^2=0\Leftrightarrow x=0$

 

Vậy.....




#641297 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi ZOT Murloc trong 19-06-2016 - 19:50

Bài 434: $\sqrt{7-2x-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=5-\left(x+\frac{1}{x}\right)$

 

$PT\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )+\sqrt{7-2x-x^2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=6$

 

Theo BĐT C-S ta có

 

$\left ( x+1 \right )+\sqrt{7-2x-x^2}\leq \sqrt{2\left ( x^2+2x+1+7-2x-x^2 \right )}=4$

 

$\frac{1}{x}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}\leq \sqrt{2\left ( \frac{1}{x^2}+2-\frac{1}{x^2} \right )}=2$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=1$

 

Cộng 2 BĐt trên suy ra $VT\leq VP$

 

Vậy ..........




#641181 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi ZOT Murloc trong 19-06-2016 - 01:30

Trong thời gian chờ đợi xem euro  :lol: 
Bài 167: Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Tìm GTNN của:
$P=\frac{(x+y+z-1)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

 

Ta có

 

$3\left ( x+y+z \right )=\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\left ( x+y+z \right )$

 

$=x^2y+y^2z+z^2x+\left ( x^3+xy^2 \right )+\left ( y^3+yz^2 \right )+\left ( z^3+zx^2 \right )\geq 3\left ( x^2y+y^2z+z^2x \right )$

 

Suy ra   

 

$x+y+z\geq x^2y+y^2z+z^2x$

 

Khi đó ta có

 

$P\geq \frac{\left ( x+y+z-1 \right )^2}{x+y+z}+\frac{9}{x+y+z}$

 

Khảo sát hàm số $f(t)=\frac{\left ( t-1 \right )^2+9}{t}$ trên $\left [ \sqrt{3};3 \right ]$ 

 

$MinP=\frac{13}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$




#641178 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi ZOT Murloc trong 19-06-2016 - 01:16

Bài 166: Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=8$. Tìm GTNN và GTLN của :

$P=\sum (x-y)^5$

Dễ có $xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2=8$

 

Và $\left ( x+y+z \right )^2\geq 0\Leftrightarrow xy+yz+xz\geq -\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=-4$

 

Suy ra $xy+yz+xz \in \left [ -4;8 \right ]$

 

Ta có

 

$P=5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )\left ( 8-xy-yz-xz \right )$

 

$\Rightarrow \left | P \right |=\left | 5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )\left ( 8-xy-yz-xz \right ) \right |$

 

Không mất tính TQ, giả sử $x\geq y\geq z$

 

Ta có

 

$\left | P \right |=5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( x-z \right )\left ( 8-xy-yz-xz \right )$

 

Áp dụng AM-GM ta có

 

$\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\leq \left ( \frac{x-z}{2} \right )^2$

 

Áp dụng C-S ta có

 

$\left ( x-z \right )^2=\left ( x-y+y-z \right )^2\leq 2\left ( x-y \right )^2+2\left ( y-z \right )^2$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-z \right )^2\leq \frac{4}{3}\left ( x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz \right )=\frac{4}{3}\left ( 8-xy-yz-xz \right )$

 

Suy ra 

 

$\left | P \right |\leq \frac{5}{4}\left ( \frac{2}{\sqrt{3}}.\sqrt{8-xy-yz-xz} \right )^3.\left ( 8-xy-yz-xz \right )\leq 960$

 

$\Leftrightarrow -960\leq P\leq 960$

 

Đẳng thức xảy ra 

 

MinP chẳng hạn $x=2,y=0,z=-2$

 

MaxP chẳng hạn $x=-2,y=0,z=2$




#641163 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi ZOT Murloc trong 18-06-2016 - 23:02

Bài 165: Cho $x,y,z \in [1;2]$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{(x+y)^2}{2(x+y+z)^2-2(x^2+y^2)-z^2}$$

 

                                                                                       (Đề thi thử đại học trường chuyên Hùng Vương)

 

Theo BĐT C-S ta có

 

$2\left ( x^2+y^2 \right )\geq \left ( x+y \right )^2$

 

$\left ( x+y \right )^2+z^2\geq \left ( \frac{x+y+z}{2} \right )^2$

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{2}{3}\left ( \frac{x+y}{x+y+z} \right )^2=\frac{2}{3}\left ( \frac{1}{1+\frac{z}{x+y}} \right )^2$

 

Lại có

 

$\frac{z}{x+y}\leq \frac{2}{1+1}=1$

 

Suy ra 

 

$P\geq \frac{2}{3}.\left ( \frac{1}{1+1} \right )^2=\frac{1}{6}$

 

Đẳng thức xảy ra 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=1 & \\ z=2 & \end{matrix}\right.$




#632195 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi ZOT Murloc trong 10-05-2016 - 01:17

Bài 385: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{4x^{2}+5(x-y)}=2\sqrt{3x^{2}+y^{2}}-2y \\ &x+2y-6=\sqrt{2y}-\sqrt{2(x+y-2)} \end{matrix}\right.$

 

ĐKXĐ:.................

 

PT(1)

 

Nhận thấy $\left\{\begin{matrix} x & = & 2\\ y & = & 0 \end{matrix}\right.$ không thỏa mãn hệ PT

 

$PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{4x^2+5\left ( x-y \right )}-\sqrt{3x^2+y^2}+2y-\sqrt{3x^2+y^2}=0$

 

$\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left ( \frac{x+y-5}{\sqrt{4x^2+5\left ( x-y \right )}+\sqrt{3x^2+y^2}} -\frac{x+y}{2y+\sqrt{3x^2+y^2}}\right )=0$

 

$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x-y & = & 0\\ \frac{x+y-5}{\sqrt{4x^2+5\left ( x-y \right )}+\sqrt{3x^2+y^2}} -\frac{x+y}{2y+\sqrt{3x^2+y^2}}& = & 0 \end{matrix}\right.$

 

TH1:$x-y=0$

 

Trường hợp này chắc ai cũng làm được

 

TH2:$\frac{x+y-5}{\sqrt{4x^2+5\left ( x-y \right )}+\sqrt{3x^2+y^2}} -\frac{x+y}{2y+\sqrt{3x^2+y^2}} = 0$             $(*)$ 

 

Ta sẽ khai thác từ PT(2).

 

$x+2y-6=\sqrt{2y}-\sqrt{2(x+y-2)}$                                           $(**)$

 

Đặt    $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2y}&=&a\\ \sqrt{2\left ( x+y-2 \right )}&=&b \end{matrix}\right.$

 

$(**)\Leftrightarrow \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-4=a-b\Leftrightarrow a^2+b^2-8=2a-2b$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2-8=2a-2b\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^2=9-2b-b^2$

 

Suy ra

 

$9-2b-b^2\geq 0\Leftrightarrow -1-\sqrt{10}\leq b\leq -1+\sqrt{10}\Rightarrow x+y< 5$

 

Từ đây suy ra $VT(*)<0$

 

Suy ra vô nghiệm




#632194 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi ZOT Murloc trong 10-05-2016 - 00:42

Bài 81, Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn$ a^2b^2 + b^2c^2 +1 \leq 3b $

   Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
$P = \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{4b^2}{(2b+1)^2} + \frac{8}{(3+c)^2} $

Mới thi học kì xong nè ^_^

 

Bổ đề: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{8}{\left ( x+y \right )^2}$

 

Chứng minh:

 

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{2.4}{\left ( x+y \right )^2}=\frac{8}{\left ( x+y \right )^2}$

 

 

 

 

 

 

$a^2b^2+b^2c^2+1\leq 3b$

 

$\Leftrightarrow a^2+c^2+\frac{1}{b^2}\leq \frac{3}{b} $

 

Đặt   $\left\{\begin{matrix} a & = &x \\ \frac{1}{b} & = & y\\ c & = & z \end{matrix}\right.$

 

Bài toán tương đương với

 

$\left\{\begin{matrix} z^2+y^2+z^2\leq 3y\\ P=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{4}{\left (y+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2} \end{matrix}\right.$

 

 

Ta có

 

$P=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{4}{\left (y+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$

 

$=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{1}{\left (\frac{y}{2}+1 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$

 

Áp dụng bổ đề ta có

 

$P\geq \frac{8}{\left ( x+\frac{y}{2}+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}\geq \frac{64}{\left ( x+z+5+\frac{y}{2} \right )^2}$

 

Theo bài ra

 

$3y\geq x^2+y^2+z^2\geq \left ( 2x-1 \right )+\left ( 4y-4 \right )+\left ( 2z-1 \right )$

 

$\Leftrightarrow x+z+\frac{y}{2}\leq 3$

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{64}{\left ( 3+5 \right )^2}=1$

 

Đẳng thức xảy ra

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & z&=1\\ y & =& 2 \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a &= &c&=1 \\ b &= & \frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

 

Vậy................




#631616 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi ZOT Murloc trong 06-05-2016 - 20:05

Bài 292: $\begin{cases} & y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\ & 4xy^{3}+y^{3}+\dfrac{1}{2}=2x^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \end{cases}$

ĐKXĐ:..........

 

PT(1)

 

Ta có:

 

$y^6+y^3+2x^2=\sqrt{-\left ( xy-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{1}{4}}\leq \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$      $(1')$

 

PT(2)

 

$4xy^3+y^3+\frac{1}{2}=2x^2+\sqrt{1+\left ( 2x-y \right )^2}\geq 2x^2+1$                                             $(2')$

 

Lấy $(1')-(2')$ ta có

 

$\left ( y^3-2x \right )^2\leq 0$

 

Đẳng thức xảy ra 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy&=&\frac{1}{2}\\ y^3&=&2x\\ 2x&=&y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & \frac{1}{2}\\ y&= & 1 \end{matrix}\right.$

 

Vậy.........




#631533 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi ZOT Murloc trong 05-05-2016 - 23:45

403.$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2y-x}}+\frac{1}{\sqrt{2y+x}}=\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{3y-x}} & \\ 81\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=8(y+2)^2\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ:............

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2y-x}&=&a\\ \sqrt{2y+x}&=&b\\ \sqrt{x+y}&=&c\\ \sqrt{3y-x}&=&d \end{matrix}\right.$

 

Ta có hệ sau

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{d}&(*)\\ a^2+b^2=c^2+d^2 \end{matrix}\right.$

 

PT(*)

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{c+d}{cd}\Leftrightarrow \frac{\left ( a+b \right )^2}{a^2b^2}=\frac{\left ( c+d \right )^2}{c^2d^2}$

 

$\Leftrightarrow c^2d^2(a^2+b^2+2ab)=a^2b^2(c^2+d^2+2cd)$

 

$\Leftrightarrow c^2d^2(a^2+b^2+2ab)=a^2b^2(a^2+b^2+2cd)$

 

$\Leftrightarrow (cd-ab)(cd+ab)(a^2+b^2)+2abcd(cd-ab)=0$

 

$\Leftrightarrow cd-ab=0$

 

$\Leftrightarrow y^2-2xy=0$

 

$\left[\begin{matrix} y&=&0(loai)\\ y&=&2x\geq 2 \end{matrix}\right.$

 

Thế y=2x vào PT(2) của hệ ta có

 

$81\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}} = 8.(2x+2)^2.\sqrt{2x-2}$

 

$\Leftrightarrow 81\left ( \sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}\right )=64\left ( x+1 \right )^2\sqrt{x-1}$

 

$\Leftrightarrow 1+\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}=\frac{64}{81}\left ( x+1 \right )^2$

 

Chứng minh cho hàm số $f(x)=VT$ nghịch biến và hàm số $g(x)=VP$ đồng biến trên $[1,+\infty ]$

 

Mặt khác $f\left (\frac{5}{4} \right )=g\left (\frac{5}{4} \right )$

 

Suy ra $x=\frac{5}{4}$ là nghiệm duy nhất của PT

 

Suy ra $y=\frac{5}{2}$

 

Vậy...........




#631508 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi ZOT Murloc trong 05-05-2016 - 22:36

Không biết có spam hay không nhưng hình như 

$\left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 không thỏa mãn điều kiện giả thiết, bạn ạ

Giả thiết là $ab+bc+ca=1$ mà

Oops. Cảm ơn bạn nhé :)) Mình lộn mất rồi. Mà nếu theo lời người ra bài thì số 3 phải thay bằng số 1 thì ms chuẩn đề thầy Nam :V Nếu nt thì dấu bằng sẽ là c=0,a=b=1. Mình đoán là có nhầm lẫn :P




#631322 Topic về phương trình và hệ phương trình

Gửi bởi ZOT Murloc trong 05-05-2016 - 01:02

Bài 399: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}=2-x & \\ (y+2)\sqrt{1+x^2}=y^2+2y+2 & \end{matrix}\right.$

 

 

HPT

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{1+x^2}+x-2=-\sqrt{1+y^2}\\ \left ( y+2 \right )\sqrt{1+x^2}=y^2+2y+2 \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2-4x+5+2\left ( x-2 \right )\sqrt{1+x^2}=1+y^2\\ \left ( y+2 \right )\sqrt{1+x^2}=y^2+2y+2 \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 2x-4 \right )\sqrt{1+x^2}=y^2-2x^2+4x-4 & (1)\\ \left ( y+2 \right )\sqrt{1+x^2}=y^2+2y+2 & (2) \end{matrix}\right.$

 

Lấy$(2)-(1)$ ta có

 

$\left ( y-2x+6 \right )\sqrt{x^2+1}=2\left ( x^2+1 \right )+2y-4x+4$

 

$\Leftrightarrow \left ( 2\sqrt{x^2+1}-y+2x-2 \right )\left ( \sqrt{x^2+1}-2 \right )=0$

 

$\Leftrightarrow \begin{matrix} 2\sqrt{x^2+1}-y+2x-2=0&\vee &\sqrt{x^2+1}-2=0\\ \end{matrix}$

 

TH1:  $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x^2+1}-y+2x-2=0\\ \sqrt{1+x^2}+x=2-\sqrt{1+y^2} \end{matrix}\right.\Rightarrow y+2=4-2\sqrt{y^2+1}$

 

$\Leftrightarrow \begin{matrix} y=-\frac{4}{3}&\vee &y=0\\ \end{matrix}$

 

......

 

TH2: $\sqrt{x^2+1}-2=0$

 

TH này đơn giản hơn rồi

 

 

P/s: Tìm $x,y$ xong phải thử lại