Nam Duong

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{2+a^3b}\ge 1$

Tổng quát: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\sum a^2=3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{2+a^mb^n}\ge 1,\forall m,n\in N^*$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{a^3b}{2+a^3b} \le 1$

ta có $\sum \frac{a^3b}{2+a^3b} \le \sum \frac{a^2\sqrt[3]{b^2}}{3} \le \frac{\sum a^2b^2+2\sum a^2}{9} \le 1$

dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$ 

Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $ x^{4}+2x^{2}=y^{3} $

$pt$ viết lại $(x^2+1)^2=y^3+1=(y+1)(y^2-y+1)$ suy ra $y \ge -1$

$\ast$ lần lượt xét $y=-1,y==0,y=1$ nhận nghiệm $(x;y)(0;0)$

$\ast$ xét $y \ge 2$

đặt $d=GCD(y+1;y^2-y+1)$

nhận thấy $y^2-y+1=(y+1)^2-3(y+1)+3 \rightarrow d|3$

$\cdot d=1$ thì suy ra $y+1,y^2-y+1$ nguyên tố cùng nhau có tích là scp nên mỗi số này cũng là scp nhưng $(y-1)^2<y^2-y+1<y^2$ nên vô nghiệm

$\cdot d=3$ suy ra $x^2 \equiv -1\ (mod\ 3)$ không xảy ra với số nguyên

vậy $(x;y)(0;0)$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq 1$ với $a,b,c>1$ thỏa mãn: $\frac{1}{a^2-1}+\frac{1}{b^2-1}+\frac{1}{c^2-1}=1$

$gt \rightarrow \sum \frac{a^2-4}{a^2-1}=0$

$bđt \leftrightarrow  \sum \frac{a-2}{a+1} \ge 0 \leftrightarrow \sum \frac{(a^2-4)(a-1)}{(a^2-1)(a+2)} \ge 0$

giả sử $a \ge b \ge c > 1$

$\rightarrow \frac{a-1}{a+2} \ge \frac{b-1}{b+2} \ge \frac{c-1}{c+2}$

áp dụng $Chebyshev$ ta được $\sum \frac{(a^2-4)(a-1)}{(a^2-1)(a+2)} \ge \frac{1}{3}(\sum \frac{a^2-4}{a^2-1})(\sum \frac{a-1}{a+2})=0$

dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=2$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
 $x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=y^{2}$

ta có $x^2+x+3>0 \rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3>x^4+2x^3+x^2=(x^2+x)^2$

và $3x^2+3x+1>0 \rightarrow x^4+2x^3+2x^2+x+3<x^4+2x^3+5x^2+4x+4=(x^2+x+2)^2$

suy ra $(x^2+x)^2<y^2<(x^2+x+2)^2$ hay $y=x^2+x+1$

thế vào pt ban đầu

Với các số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ có tổng bằng $1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$f=\frac{x_{1}}{\sqrt{1-x_{1}}}+\frac{x_{2}}{\sqrt{1-x_{2}}}+...+\frac{x_{n}}{\sqrt{1-x_{n}}}.$$

do bđt đối xứng nên gs $x_1 \ge x_2 \ge... \ge x_n$

$ \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x_1}} \ge... \ge \frac{1}{\sqrt1-x_n}}$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ trên ta được

$f \ge \frac{1}{n}.\frac{n^2}{\sum \sqrt{1-x_1}} \ge \frac{n}{\sqrt{n(n-1)}}=\sqrt{\frac{n}{n-1}}$

Mọi người bài này trâu lắm nè, làm đủ cách cũng ko ra thôi đành nhờ m.n giúp. Help me!!!     

 

_________________________

 Cách gõ công thức Toán.

$a^6+1+1 \ge 3a^2$

tương tự cộng lại suy ra $\sum a^2 \le 3$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$

chuẩn hóa $\sum a^2=3$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{1-c^2}{c^2+3} \ge 0$

vì bđt đối xứng nên giả sử $a \ge b \ge c$

$\rightarrow 1-c^2 \ge 1-b^2 \ge 1-a^2$ và $\frac{1}{3+c^2} \ge \frac{1}{3+b^2} \ge \frac{1}{3+a^2}$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ đơn điệu cùng chiều trên ta có đpcm

Đúng r bạn

.Có vấn đề gì à

không có đề nào rảnh mà không ghi $b^3$ thay vì $2b^3-b^3$ cả

nếu đề đúng là như trên thì bị ngược dấu rồi

$\sum \frac{b^3}{ab+b^2} \ge \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$

Đặt $t=\sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-2x-2},t> 0$.

Khi đó: $pt\iff t-4-\frac{4}{t}=0\iff t^2-4t-4=0=> t=2+2\sqrt{2}$.

$\iff \sqrt{x^2+2x+2}+\sqrt{x^2-2x-2}=2+2\sqrt{2}$

$\iff 2x^2+2\sqrt{x^4-4x^2-8x-4}=(2+2\sqrt{2})^2$

$=> x^4-4x^2-8x-4=[(6+4\sqrt{2})^2-x^2]^2$

$\iff -4x^2-8x-4=(6+4\sqrt{2})^4-2x^2(6+4\sqrt{2})^2$

Đến đây còn bậc 2 bạn tự làm tiếp nhé!

Nhớ thử lại nhé

coi lại đoạn này đi bạn

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng $\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}\geq \frac{3}{2}$

$\sum \frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}=\sum \frac{2a^4}{2a\sqrt{b^2+3}} \ge 4.\frac{(\sum a^2)^2}{5\sum a^2+9}=\frac{3}{2}$

Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn:a+b+c=1.

CMR: $\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}$ $\geq$ 7

http://diendantoanho...phạm-2016-2017/

 

Bạn tham khảo bài này ( quocbaolqd11 )

 

bổ đề 1: $x^5+y^5 \ge x^2.y^2(x+y)$

 

thật vậy, ta có: $x^5+y^5=(x+y)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)=(x+y)((x-y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2)$.

 

Vì $(x-y)^2(x^2-xy+y^2) \ge 0$ nên $((x-y)^2(x^2-xy+y^2)+x^2y^2) \ge x^2y^2$ nên ta có đpcm.

 

Trở lại bài toán:

 

$\frac{ab}{a^5+b^5+ab} \le \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{ab(a+b)+1}=\frac{c}{abc(a+b)+c}=\frac{c}{a+b+c}$

 

Tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng lại được đpcm.

 

bạn làm sai đề rồi

$P=\frac{a^2}{2(a+1)^2+b}+\frac{b^2}{2(b+1)^2+c}+\frac{c^2}{2(c+1)^2+a}\leq \frac{a^2}{8a+b}+\frac{b^2}{8b+c}+\frac{c^2}{8c+a}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{8a+b+8b+c+8c+a}= \frac{1}{3}=> P_{max}=\frac{1}{3}<=>a=b=c=1$

bị ngược dấu

Lấy đâu ra đây bn?

từ gt suy ra $\frac{1}{x+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

tương tự với $2$ số còn lại rồi nhận vế theo vế, sau đó áp dụng $AM-GM$ cho $VP$

Cho $x,y,z>0: \dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=2$. CMR: $xyz \leq \dfrac{1}{8}$

$\frac{1}{x+1}.\frac{1}{z+1}.\frac{1}{y+1} \ge \frac{8xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)} \rightarrow xyz \le \frac{1}{8}$