cristianoronaldo

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )-2\left ( ab+bc+ca \right )}{2\left ( a+b+c \right )}\geqslant 2\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=6$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{a^2+5}+\frac{1}{b^2+5}+\frac{1}{c^2+5}\leqslant \frac{1}{2}$$

và

$$\frac{1}{7a^4+17}+\frac{1}{7b^4+17}+\frac{1}{7c^4+17}\leqslant \frac{1}{8}$$

$\boxed{\text{ Bài toán:}}$

Cho $\textit{a,b,c}$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng với $k\geqslant 0$, ta luôn có:
$$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{a}{ka+b+c}\geqslant \frac{1}{\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )}\left [ 7-k+\dfrac{12\left ( k-1 \right )\left ( ab+bc+ca \right )}{\left ( a+b+c \right )^2}+M \right ]$$

trong đó

$$M=\frac{4\left ( k-1 \right )^2\left ( 3k+5 \right )\left ( a-b \right )^2\left ( b-c \right )^2\left ( c-a \right )^2}{\left ( ka+b+c \right )\left ( kb+c+a \right )\left ( kc+a+b \right )\left ( a+b+c \right )^3}$$

$\textit{Proposed by cristianoronaldo}$